Задача 43200 Из всех равнобедренных треугольников с...

vk278982700

2019-12-29 15:45:44

Из всех равнобедренных треугольников с постоянной длинной медианы, проведённый к боковой стороне, найти треугольник с наибольшей площадью. Чему равен угол при вершине такого треугольника?

sova

2019-12-29 21:03:53

★

Пусть боковая сторона равна х, тогда

по теореме косинусов:

m^2=(x/2)^2+x^2-2*x*(x/2)*cos α ,

α - угол при вершине.

cos α =[m]\frac{5}{4}-(\frac{m}{x})^2[/m] ⇒

sin^2 α =1-cos^2 α ⇒

sin^2 α =1 - ([m]\frac{5}{4}-(\frac{m}{x})^2[/m])^2

sin α =[m]\sqrt{\frac{5m^2}{2x^2}-(\frac{m}{x})^4-\frac{21}{4}}[/m]

Применяем формулу нахождения площади треугольника:

S( Δ)=(1/2)ab*sin ∠ C

получим

S(x)= (1/2)*x*x*sin α =(1/2)*x^2*[m]\sqrt{\frac{5m^2}{2x^2}-(\frac{m}{x})^4-\frac{21}{4}}[/m]


Далее исследуем функцию с помощью производной и находим точку максимума и наибольшее значение