Задача 34898 ...

sova

2019-03-25 15:44:52

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-k-2=0
D=9
k_(1)=-1; k_(2)=2- корни действительные различные
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(2x)

частное решение неоднородного
y_(част)=e^(x)(Asin5x+Bcos5x)

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x)

y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x)

y``_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x)

y``_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x)


e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x - Asin5x-Bcos5x-5Acos5x+5Bsin5x-2Asin5x-2Bcos5x)=e^(x)*(sin5x+cos5x)

Приравниваем синусы слева и справа
Asin5x+5Bsin5x-5Bsin5x-25Asin5x- Asin5x+5Bsin5x-2Asin5x=sin5x
⇒
A-25A-A+5B-2A=1

Приравниваем косинусы слева и справа.
Bcos5x+5Acos5x+5Acos5x-25Bcos5x -Bcos5x-5Acos5x-2Bcos5x= cos5x
⇒
B+5A+5А-25B-B-5A-2B=1

Система:
{5B-27A=1
{5A-27B=1

B=-32/704

B=-1/22

A=-1/22

y_(част)=(-1/22)*e^(x)(sin5x+cos5x)

О т в е т. у=y_(одн.)+y_(част)=

==С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(2x)- (1/22)*e^(x)(sin5x+cos5x)