Задача 45891 ...

Найти область определения функции

y = √(x – 3)(x² – 7x + 12)

Подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому

(x–3)(x²–7x+12) ≥ 0

Раскладываем x²–7x+12 на множители

по формуле:

Находим дискриминант

D=(–7)²–4·12=49–48=1

x₁=(7–1)/2=3; x₂=(7+1)/2=4

x²–7x+12 =(x–3)(x–4)

Неравенство принимает вид:
(x–3)(x–3)(x–4) ≥ 0

(x–3)²·(x–4) ≥ 0

Решаем методом интервалов.

Находим нули функции. Это точки, в которых кривая пересекает ось Ох ( или касается!!!)
x=3 или x=4
и расставляем знаки:
_____ [3] ___ [4] ______


(см. рис.)

О т в е т. {3} U [4;+ ∞ )

Вывод. При переходе через точку х=3 знак не меняется.
Кривая касается оси Ох в точке х=3.

См. рис. 2 как она на самом деле выглядит

Расставляя знаки мы представляем себе именно расположение кривой.
Даже если еще не умеем ее строить.

Смотрите на графике
–,–,+
так же как на синей картинке


Особо хочу подчеркнуть, когда есть квадратный трехчлен,
например,
y=x²–7x+12

Мы нашли его корни 3 и 4. График y=x²–7x+12– парабола,
ветви вверх, значит знаки:

___+_ (3) __–__ (4) __+___

График квадратичной функции помогает быстро расставить знаки

Это полезно, если дана функция третьей степени, а ее производная как раз квадратичная функция

––––––––––––––––––––––––––––––––