Задача 41513 Даны три последовательные вершины...

vk227441747

2019-11-13 16:29:07

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3;3), В(5;-1),С(5;5). Не находя координаты вершины D, найти:
1. найти уровень сторон AD
2. уровень высоты опущенной из вершины B на сторону AD
3. найти длину этой высоты
4. уравнение диагонали BD
5. угол между диагоналями параллелограмма

sova

2019-11-13 23:05:11

1)
Cм. рис. 1

Точки В и С имеют одинаковую первую координату, поэтому [i]уравнение прямой[/i] ВС: [red]х=5[/red]

Прямая AD || BC и проходит через точку А, у которой первая координата равна (-3)
Значит, [i]уравнение прямой[/i] АD:[red] x=-3[/red]

2)
Cм. рис. 2

Высота ВН перпендикулярна AD и значит параллельна оси Ох.
Уравнение прямой, параллельной оси Ох и проходящей через точку В (5;-1)
y=-1

Точка Н - точка пересечения AD и BH

Значит, координаты точки H (-3;-1)

3)
[green]|BH|[/green]=[green]|x_(H)-x_(B)|[/green]=| -3 - 5|= |-8| = 8
так как это частный случай формулы
при y_(H)=y_(B)

|BH|=sqrt((x_(H)-x_(B))^2+(y_(H)-y_(B))^2)=sqrt((x_(H)-x_(B))^2+ (y_(B)-y_(B)^2))=sqrt((x_(H)-x_(B))^2+0)=sqrt((x_(H)-x_(B))^2)=|x_(H)-x_(B)|


4)
См. рис. 3

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Координаты точки О как середины отрезка АС:
x_(O)=[m]\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-3+5}{2}=1[/m]
y_(O)=[m]\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{3+5)}{2}=4[/m]

[blue]O(1; 4)[/blue]

Уравнение диагонали BD - это и уравнение прямой BO.

Составим уравнение применяя общее уравнение прямой, проходящей через две точки

B(5;-1) и О (1; 4)

[m]\frac{x-x_{O}}{x_{B}-x_{O}}=\frac{y-y_{O}}{y_{B}-y_{O}}[/m]

[m]\frac{x-1}{5-1}=\frac{y-4}{-1-4}[/m]

[m]\frac{x-1}{4}=\frac{y-4}{-5}[/m]

Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
-5*(х-1)=4*(у-4)
-5х+5=4у-16

[b]5х+4у-21=0[/b] -[i] уравнение диагонали[/i] BD

5)
Угол между диагоналями - это меньший из углов, образованных прямыми BO и AC, значит это угол ВОС

Находим его как угол между векторами
vector{OB} и vector{OC}

сos ( ∠ vector{OB}, vector{OC})=[m]\frac{\underset{OB}{\rightarrow}\cdot\underset{OC}{\rightarrow}}{|\underset{OB}{\rightarrow}|\cdot|\underset{OC}{\rightarrow}|}[/m]

Находим координаты векторов
vector{OB}=(5-1;-1-4)=(4;-5)
vector{OC}=(5-1;5-4))=(4;1)

Находим скалярное произведение векторов vector{OB} и vector{OC}
vector{OB}*vector{OC}=4*4+(-5)*1=11
|vector{OB}|=sqrt(4^2+(-5)^2)=sqrt(41)
|vector{OC}|=sqrt(4^2+1^2)=sqrt(17)

сos ( ∠ vector{OB}, vector{OC})=[m]\frac{11}{\sqrt{41}\cdot \sqrt{17}}=\frac{11}{\sqrt{697}}=\frac{11\sqrt{697}}{697}[/m]