Задача 41513 Даны три последовательные вершины...

vk227441747

13 ноября 2019 г. в 16:29

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(–3;3), В(5;–1),С(5;5). Не находя координаты вершины D, найти:
1. найти уровень сторон AD
2. уровень высоты опущенной из вершины B на сторону AD
3. найти длину этой высоты
4. уравнение диагонали BD
5. угол между диагоналями параллелограмма

sova

13 ноября 2019 г. в 23:05

1)
Cм. рис. 1

Точки В и С имеют одинаковую первую координату, поэтому уравнение прямой ВС: х=5

Прямая AD || BC и проходит через точку А, у которой первая координата равна (–3)
Значит, уравнение прямой АD: x=–3

2)
Cм. рис. 2

Высота ВН перпендикулярна AD и значит параллельна оси Ох.
Уравнение прямой, параллельной оси Ох и проходящей через точку В (5;–1)
y=–1

Точка Н – точка пересечения AD и BH

Значит, координаты точки H (–3;–1)

3)
|BH|=|x_H–x_B|=| –3 – 5|= |–8| = 8
так как это частный случай формулы
при y_H=y_B

|BH|=√(x_H–x_B)²+(y_H–y_B)²=√(x_H–x_B)²+ (y_B–y_B²)=√(x_H–x_B)²+0=√(x_H–x_B)²=|x_H–x_B|


4)
См. рис. 3

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Координаты точки О как середины отрезка АС:
x_O=[m]\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-3+5}{2}=1[/m]
y_O=[m]\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{3+5)}{2}=4[/m]

O(1; 4)

Уравнение диагонали BD – это и уравнение прямой BO.

Составим уравнение применяя общее уравнение прямой, проходящей через две точки

B(5;–1) и О (1; 4)

[m]\frac{x-x_{O}}{x_{B}-x_{O}}=\frac{y-y_{O}}{y_{B}-y_{O}}[/m]

[m]\frac{x-1}{5-1}=\frac{y-4}{-1-4}[/m]

[m]\frac{x-1}{4}=\frac{y-4}{-5}[/m]

Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
–5·(х–1)=4·(у–4)
–5х+5=4у–16

5х+4у–21=0 – уравнение диагонали BD

5)
Угол между диагоналями – это меньший из углов, образованных прямыми BO и AC, значит это угол ВОС

Находим его как угол между векторами
OB и OC

сos ( ∠ OB, OC)=[m]\frac{\underset{OB}{\rightarrow}\cdot\underset{OC}{\rightarrow}}{|\underset{OB}{\rightarrow}|\cdot|\underset{OC}{\rightarrow}|}[/m]

Находим координаты векторов
OB=(5–1;–1–4)=(4;–5)
OC=(5–1;5–4))=(4;1)

Находим скалярное произведение векторов OB и OC
OB·OC=4·4+(–5)·1=11
|OB|=√4²+(–5)²=√41
|OC|=√4²+1²=√17

сos ( ∠ OB, OC)=[m]\frac{11}{\sqrt{41}\cdot \sqrt{17}}=\frac{11}{\sqrt{697}}=\frac{11\sqrt{697}}{697}[/m]