Задача 52853 Стереометрия 2020...

slava191

2020-07-11 18:57:20

Стереометрия 2020

sova

2020-07-12 10:42:27

Пирамида - правильная.
АВ=ВС=АС=9
SA=SB=SC=sqrt(43)
О- центр вписанной и описанной окружностей

AL=LC=9/2
BL=h_( Δ ABC)=9sqrt(3)/2
BO=R=9sqrt(3)/3=3sqrt(3)
LO=r=9sqrt(3)/6


Из Δ SOB
SO^2=SB^2-BO^2=(sqrt(43))^2-(3sqrt(3))^2=43-27=16
SO=4

[red]Проекция точки К на плоскость АВС - точка F[/red]

Точка F лежит на высоте ВL треугольника АВС

Докажем, что точка F лежит на отрезке СМ

Составим уравнение прямой СМ на плоскости, как прямой, проходящей через две точки:

[m]\frac{x-0}{\frac{7\sqrt{3}}{2}}=\frac{y-9}{\frac{7}{2}-9}

[m]-11x=7\sqrt{3}y-63sqrt{3}[/m]

Найдем координаты точки F.

Из подобия Δ SBO и Δ KBF

BF=(6/11)BO=(18sqrt(3)/11)

KF=(6/11)*SO=24/11

LF=BL-BF=(9sqrt(3)/2)-(18sqrt(3)/11)=9sqrt(3)*((1/2)-(2/11))=(7/22)*9sqrt(3)=63sqrt(3)/22

F(63sqrt(3)/22;9/2;0)

Подставим в уравнение прямой СМ:

[m]-11\cdot \frac{63\sqrt{3}}{22}=7\sqrt{3}\cdot \frac{9}{2}-63sqrt{3}[/m]

[red]верно.[/red]
⇒ F лежит на СM
и

KF ⊥ пл АВС

Плоскость CКМ проходит через KF ⇒ пл СКМ ⊥ АВС

б)

[red]V_(пирамиды СВМК)[/red]=[m]\frac{1}{3}S_{ CBM}\cdot KF=

\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} \cdot 2\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{24}{11}=\frac{36\sqrt{3}}{11}[/m]

____________________________

[green]2 способ: координатный[/green]

Из подобия треугольников АВL и АМЕ
MЕ=7sqrt(3)/2

A(0;0;0)
C(0;9;0)
В(9sqrt(3)/2; 9/2;0)
M(7sqrt(3)/2; 7/2;0)

O(9sqrt(3)/6; 9/2;0)

S(9sqrt(3)/6; 9/2;4)


F(63sqrt(3)/22;9/2;0)


[b]K(63sqrt(3)/22;9/2;24/11)[/b]

Уравнение плоскости [b]ABC:[/b]

[b]z=0[/b]

vector{n_(ABC)}=(0;0;1)

Уравнение плоскости [b]СКМ:[/b]
[b]C(0;9;0)[/b]
[b]M(7sqrt(3)/2; 7/2;0)[/b]

[b]K(63sqrt(3)/22;9/2;24/11)[/b]


[m]\begin{vmatrix} x& y-9 &z \\ \frac{7\sqrt{3}}{2} &\frac{7}{2}-9 & 0\\ \frac{63\sqrt{3}}{22} &\frac{9}{2}-9 &\frac{24}{11} \end{vmatrix}=0[/m]

⇒

[m]-12x-\frac{63\sqrt{3}}{4}z+\frac{11}{2}\cdot (\frac{63\sqrt{3}}{22})z-\frac{24}{11}\cdot \frac{7\sqrt{3}}{2}\cdot (y-9)=0[/m]

[m]-12x-\frac{24}{11}\cdot \frac{7\sqrt{3}}{2}\cdot y-\frac{24}{11}\cdot \frac{7\sqrt{3}}{2}\cdot9=0[/m]


vector{n_(CKM)}=(-12; [m]\frac{84\sqrt{3}}{2}[/m];0)


vector{n_(ABC)}*vector{n_(CKM)}=-12*0+[m]\frac{84\sqrt{3}}{2}[/m]*0+0*1 =0

Векторы vector{n_(ABC} ⊥ vector{n_(CKM)} ⇒

[b]пл АВС ⊥ пл СМК[/b]

б)

[green]2 способ: координатный [/green]

[b]C(0;9;0)[/b]
[b]В(9sqrt(3)/2; 9/2;0)[/b]
[b]M(7sqrt(3)/2; 7/2;0)[/b]
[b]K(63sqrt(3)/22;9/2;24/11)[/b]


[red]V_(пирамиды СВМК)[/red]=[m]\frac{1}{6}\cdot |(\vec{CB},\vec{CM},\vec{CK})|[/m]


[m](\vec{CB},\vec{CM},\vec{CK})=\begin{vmatrix}\frac{9\sqrt{3}}{2} & \frac{9}{2}-9 &0 \\ \frac{7\sqrt{3}}{2} &\frac{7}{2}-9 & 0\\ \frac{63\sqrt{3}}{22} &\frac{9}{2}-9 &\frac{24}{11} \end{vmatrix}=\frac{24}{11}\cdot \begin{vmatrix}\frac{9\sqrt{3}}{2} & \frac{9}{2}-9 \\ \frac{7\sqrt{3}}{2} &\frac{7}{2}-9 \end{vmatrix}=[/m]

[m]=-\frac{24\cdot 9\sqrt{3}}{11}[/m]

[red]V_(пирамиды СВМК)[/red]=[m]\frac{1}{6}\cdot|-\frac{24\cdot 9\sqrt{3}}{11}|= \frac{36\sqrt{3}}{11}[/m]