Задача 16876 Найдите произведение корней или корень,...
Условие
sqrt(10+1/log(x)2) = 2log2(0,5sqrt(x))
Решение
{x > 0; x ≠ 1
log_(x)2 ≠ 0
{10+(1/log_(x)2) > 0
По свойствам логарифмов
log_(2)(0,5sqrt(x))=log_(2)0,5+log_(2)sqrt(x)=-1+(1/2)log_(2)x
1/log_(x)2=log_(2)x
Замена переменной
log_(2)x=t
sqrt(10+t)=2*(-1+(1/2)t) ( #)
Возводим обе части уравнения в квадрат.
При этом могут появиться посторонние корни. Поэтому решив уравнение (#) сделаем проверку.
10+t=4*(1-t+(1/4)t^2;
t^2-5t-6=0
D=25+24=49
t=(5-7)/2=-1 или t=(5+7)/2=6
Проверка.
t=-1 не является корнем уравнения (#), так как по определению арифметического корня
sqrt(9)=3
а при t=-1
sqrt(10-1)=2*(-1-1/2)
sqrt(9)=-3 - неверно
t=6 - корень уравнения (#),
sqrt(10+6)=2*(-1+(6/2))
sqrt(16)=2*2 - верно.
Обратная замена
log_(2)x=6
x=2^6
x=64
О т в е т. 64.