Задача 50310 Исследовать на сходимость заданные...
Условие
Решение
arcsin x~x при x → 0
arcsin[m]\frac{\pi}{n^2+2}[/m]~[m]\frac{\pi}{n^2+2}[/m]
Ряд ∑ ~[m]\frac{1}{n^2}[/m] сходится, p=2>1
2)
По признаку Даламбера
[m] lim_{n → \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}= lim_{n → \infty}\frac{\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}}{\frac{(n)!}{2^{n}}}= lim_{n → \infty}\frac{n+1}{2}=[/m]+ ∞
Расходится
3) По радикальному признаку Коши:
[m]lim_{n → \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=lim_{n → \infty}\sqrt[n]{(\frac{3n-1}{2n+3})^{n}}=lim_{n → \infty}\frac{3n-1}{2n+3}=\frac{3}{2} >1[/m]
Расходится
4) Расходится. Не выполняется необходимое условие сходимости.
Общий член ряда не стремится к нулю
[m]lim_{n → \infty}\frac{3n^2+2}{2n^2-1}=\frac{3}{2} \neq 0[/m]