Задача 28767 ...

vk291918877

30 июня 2018 г.

2. Вычислить интеграл

∫ (x + 2)·ln(x) dx

3. Решить дифференциальное уравнение 1–го порядка
xy' = y – x e^y/x

SOVA

30 июня 2018 г.

2. Применяем метод интегрирования по частям
∫ udv=u·v– ∫ vdu

Обозначаем:
lnx=u
(x+2)dx=dv

du=dx/x
v=(x²/2)+2x

∫ (x+2)·lnxdx=((x²/2)+2x)·lnx – ∫ ((x²/2)+2x)·(dx/x)=

=((x²/2)+2x)·lnx – ∫ ((x/2)+2)dx=

=((x²/2)+2x)·lnx – (x²/4)–2x + C

3.
Раздели обе части уравнения на х:
y`=(y/x)–e<sup>y/x</sup>
Уравнение имеет вид:
y`=phi(y/x) – это однородное уравнение первого порядка.
Обозначим
(y/x)=u ⇒ y=ux
y`=u`·x + u· x` ( x`=1, так как х – независимая переменная)

u`·x + u = u – e<sup>u</sup>
u`·x = – e^u – это уравнение с разделяющимися переменными
u`=du/dx
x·(du/dx)=–e^u
– du/e^u=dx/x
Интегрируем
∫ e^–ud(–u) = ∫ dx/x
e^–u = ln|x| + ln C, C > 0

e^–u=ln(C|x|)

Обратная замена
e^{– y/x}=lnC|x| – общее решение данного дифференциального уравнения.