Задача 28767 Все на картинке...
Условие
Все решения
∫ udv=u*v- ∫ vdu
Обозначаем:
lnx=u
(x+2)dx=dv
du=dx/x
v=(x^2/2)+2x
∫ (x+2)*lnxdx=((x^2/2)+2x)*lnx - ∫ ((x^2/2)+2x)*(dx/x)=
=((x^2/2)+2x)*lnx - ∫ ((x/2)+2)dx=
=((x^2/2)+2x)*lnx - (x^2/4)-2x + C
3.
Раздели обе части уравнения на х:
y`=(y/x)-e^(y/x)
Уравнение имеет вид:
y`=phi(y/x) - это однородное уравнение первого порядка.
Обозначим
(y/x)=u ⇒ y=ux
y`=u`*x + u* x` ( x`=1, так как х - независимая переменная)
u`*x + u = u - e^(u)
u`*x = - e^(u) - это уравнение с разделяющимися переменными
u`=du/dx
x*(du/dx)=-e^(u)
- du/e^(u)=dx/x
Интегрируем
∫ e^(-u)d(-u) = ∫ dx/x
e^(-u) = ln|x| + ln C, C > 0
e^(-u)=ln(C|x|)
Обратная замена
e^(- y/x)=lnC|x| - общее решение данного дифференциального уравнения.