Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 14921 Решите неравенство...

Условие

Решите неравенство log(x+1)(19+18x-x^2)-(1/16)log^2_(x+1)(x-19)^2 больше или равно 2

математика 10-11 класс 6483

Решение

ОДЗ:
{x+1 > 0; ⇒ x > -1
{x+1≠1 ⇒ x≠0
{19+18x-x^2 > 0; ⇒ D=400; -1 < x < 19
{(x-19)^2 > 0 ⇒ x≠19

ОДЗ: x∈(-1;0)U(0;19)

По формуле логарифма степени
log_(a)b^n=(n)log_(a)|b|
получим
log_(x+1)(x–19)^2=2log_(x+1)|x-19|
log^2_(x+1)(x–19)^2=(2log_(x+1)|x-19|)^2=4log^2_(x+1)|x-19|
В условиях x∈(-1;0)U(0;19)
х-19 < 0
|x-19|=19-x
и
log_(x+1)(x–19)^2=4log^2_(x+1)(19-x)
Так как
19+18x-x^2=(x+1)*(19-x)
log_(x+1)(x+1)(19-x)=log_(x+1)(x+1)+log_(x+1)(19-x)
Неравенство принимает вид:
log_(x+1)(x+1)+log_(x+1)(19-x)-(1/4)log^2_(x+1)(19–х) ≥ 2

Замена переменной
log_(x+1)(19-x)=t
log^2_(x+1)(19–х)=t^2

t-(1/4)t^2-1≥0
t^2-4t+4 ≤0
t=2- единственный корень неравенства, так как t^2-4t+4=(t-2)^2 > 0 при всех t кроме t=2

log_(x+1)(19-x)=2
(x+1)^2=19-x;
x^2+2x+1=19-x;
x^2+3x-18=0
D=9+72=81
x1=(-3-9))/2=-6 или х2=(-3+9)/2=3
x1 не принадлежит ОДЗ
О т в е т. 3

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК