Задача 33884 а) Решите уравнение...

vk505156332

25 февраля 2019 г. в 13:31

а) Решите уравнение 2/(tg²x+1)=3sin(3π+2x).

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [–3π/2 ; π].

sova

25 февраля 2019 г. в 13:42

ОДЗ:
{cosx≠0 ( иначе tgx не существует)
{tg²x+1 ≠ 0 , так как tg²x ≥ 0 при условии первого неравенства

Так как
1+tg² α=1/cos² α
и
по формулам приведения
sin(3π+2x)=–sin2x

sin2x=2·sinx·cosx

Уравнение принимает вид:
2·cos²x=–6sinx·cosx
2·cos²x+6sinx·cosx=0
2cosx·(cosx+3sinx)=0

cosx ≠ 0 ( cм. ОДЗ)

cosx+3sinx=0
3sinx=–cosx – однородное уравнение первой степени, делим на sinx≠ 0

ctgx=–3
x=arcctg(–3)+πk, k ∈ Z
x= – arctg(3)+πk, k ∈ Z

A) О т в е т. – arctg(3)+πk, k ∈ Z

Б) Указанному отрезку принадлежат корни:
–arcctg3–π; –arcctg3; –arctg3+π

см. рис.
Так как указанный отрезок включает 5 раз по π/2
рисунок нарисовала отдельно
для [–3π/2;0] и для (0;π]