Задача 34943 Найти производные заданных функций,...
Условие
Решение
Производная произведения
(u*v)`=u`*v+u*v`
y`=(x^3)`*sinx+(x^3)*(sinx)`=3x^2*sinx+x^3*cosx.
2)
По формуле
(u^4)`=4u*(u)` - производная степенной функции, для аргумента u=u(x)
В данном случае u=2^(sinx)-sqrt(1+x)
[b]y`=4*(2^(sinx)-sqrt(1+x))^3 * (2^(sinx)-sqrt(1+x))`=[/b]
(2^(u))`=2^(u)*ln2 *(u`) - производная показательной функции, для аргумента u=u(x)
u=sinx
и
(sqrt(u))`=u`/(2*sqrt(u))
[b]=4*(2^(sinx)-sqrt(1+x))^3 * (2^(sinx)*ln2*(sinx)`-(1+x)`/(2*sqrt(1+x)))=[/b]
[b]=4*(2^(sinx)-sqrt(1+x))^3 * (2^(sinx)*ln2*(cosx)-(1)/(2*sqrt(1+x)))[/b]- о т в е т.
3) Показательно - степенная функция.
Логарифмируем
lny=ln(sqrt(x))^(x)
Применяем свойство логарифма степени:
lny=x*ln(sqrt(х))
lny=x*lnx^(1/2)
lny=(1/2)*x*lnx
Дифференцируем
(lny)`=(1/2)(x*ln(х))`
Слева сложная функция y=y(x)
Cправа производная произведения:
y`/ [b]y[/b]= (1/2) x`*lnx+(1/2)x*(ln(x))`
y`= [b]y[/b]*((1/2)lnx+(1/2)*x(1/(x)))
y`=(1/2)*[b](sqrt(x))^(x)[/b]*(lnx+1)
4.
Дифференцируем равенство, при этом
y=y(x) сложная функция
(x*lny)-(y*lnx)`+(2)`=0`
x`*lny +x*(lny)` -y`*lnx-y*(lnx)`+0=0
1*lny +x*(y`/y)-y`*lnx-y*(1/x)=0
y`*(x/y)-lnx)=(y/x)-lny
[b]y`=((y/x)-lny)/((x/y)-lnx) [/b]
5.
Производная функции, заданной параметрически:
y`_(x)=y`_(t)/(x`_(t))
y`_(t)=(e^(t)*sint)`=(e^(t))`*sint+(e^(t))*(sint)`=
=e^(t)*sint+e^(t)*cos=e^(t)*(sint+cost)
x`_(t)=(sint-cost)`=(sint)`-(cost)`=cost-(-sint)=cost+sint
[b]y`=e^(t)
[/b]