Задача 28233 Все на картинке...
Условие
Решение
{xsqrt(5) > 0 ⇒ x > 0
{x/(1-x) > 0 ⇒ x/(x-1) < 0 ⇒ x ∈ (0;1)
{(5x^2+(1/x)-2) > 0 ⇒ при x > 0 (5x^3-2x+1) > 0
так как y`=(5x^3-2x+1)=10x^2-2 и график функции см. рис расположен выше оси Ох при x > 0
Применяем свойства логарифма степени
2log_(2)(xsqrt(5))=log_(2)5x^2
и разность логарифмов заменяем логарифмом частного
log_(2)5x^2(1-x)/x меньше или равно log_(2)(5x^2+(1/x)-2)
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому
5x^2(1-x)/x меньше или равно 5x^2+(1/x)-2 (#)
(5x^2-5x^3-5x^3+2x-1)/x меньше или равно 0
(-10x^3+5x^2+2x-1)/x меньше или равно 0
При x > 0
-10x^3+5x^2+2x-1 меньше или равно 0
Меняем знак и знак неравенства:
10x^3-5x^2-2x+1 больше или равно 0
Раскладываем левую часть на множители способом группировки
5x^2*(2x-1)-(2x-1) больше или равно 0
(5x^2-1)*(2x-1) больше или равно 0
Применяем метод интервалов
Находим нули функции
5x^2-1 = 0 или 2х-1 =0
x^2=1/5 или 2х=1
x=±1/sqrt(5) или х=1/2
sqrt(5) > 2 значит
1/sqrt(5) < 1/2
_-__ [-1/sqrt(5)] __+__ [1/sqrt(5)] __-_ [1/2] __+__
Решение неравенства (#):
[-1/sqrt(5);1/sqrt(5)] U[1/2;+ бесконечность)
С учетом ОДЗ получаем о т в е т.
(0;1/sqrt(5)] U[1/2;1)
Все решения
