Задача 11839 ...

slava191

26.11.2016

Уравнение 2x^3+ax^2+bx+c=0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй – косинусом, а третий – тангенсом одного и того же угла. Найдите все такие уравнения.

SOVA

27.11.2016

★

По теореме Виета для кубического уравнения:
{sinx+cosx+tgx=-a/2;
{sinx*cosx+sinx*tgx+cosx*tgx=b/2;
{sinх*cosx*tgx=-c/2

Последнее уравнение принимает вид
sin^2x=-c/2;
sinx =sqrt(-c/2) или sinx=-sqrt(-c/2).
Так как
-1 меньше или равно sinx меньше или равно 1, то уравнения имеют решения при
-1 меньше или равно sqrt(-c/2) меньше или равно 1
По условию коэффициенты целые, неравенству удовлетворяют три целых значения с

с=-2;-1;0

sin^2x=1 ⇒ cosx=0
sin^x=1/2
sin^2x=0

Условию задачи удовлетворяет второй случай.
sin^2x=1/2

1) sinx=sqrt(2)/2, тогда
cosx=-sqrt(2)/2
tgx=-1
подставляем эти значения в первые два уравнения системы:
x=3π/4+2πk, k∈Z ⇒ b=-1; a=2; c=-1
или
sinx=sqrt(2)/2;
cosx=sqrt(2)/2;
tgx=1.
х=π/4+2πk, k∈Z
этот случай не удовлетворяет условию задачи, коэффициенты а и b не целые

2) sinx=-sqrt(2)/2
cosx=sqrt(2/2)
tgx=-1
х=-π/4+2πk, k∈Z
b=-1; a=2; c=-1 те же самые значения коэффициентов
или
sinx=-sqrt(2)/2
cosx=-sqrt(2/2)
tgx=1
х= (-3π/4)+2πk, k∈Z
этот случай не удовлетворяет условию задачи
О т в е т. 2x^3+2x^2-x-1=0 - одно уравнение.