Задача 31003 Корень(x+3) - корень(3x-2)> корень(x-2)...
Условие
Решение
{x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3;
{3x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2/3;
{x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
ОДЗ: х ∈ [2;+ ∞ )
Перепишем
sqrt(x+3) > sqrt(3x-2) + sqrt(x-2)
Левая и правая части неравенства неотрицательны, теперь можно возвести в квадрат:
x+3 > 3x - 2 +2*sqrt(3x-2)*sqrt(x-2) + x - 2;
2*sqrt(3x-2)*sqrt(x-2) < 7 - 3x
Если 7-3x < 0, то неравенство не имеет смысла, так как левая часть неотрицательна и потому не может быть меньше отрицтельного выражения
Если 7-3x ≥ ⇒ [b] x ≤ 7/3[/b], тогда
возводим в квадрат
4*(3x - 2)(x - 2) < (7 - 3x)^2
3x^2 + 10x - 33 <0
D=10^2-4*3*(-33)=100 + 396=496
x_(1)=(-10-4sqrt(31))/6 или x_(2)=(-10+4sqrt(31))/6
x_(1)=(-5-2sqrt(31))/3 или x_(2)=(-5+2sqrt(31))/3
Решение неравенства 3x^2 + 10x - 33 <0
(-5-2sqrt(31))/3 < x < (-5+2sqrt(31))/3 < 7/3
С учетом ОДЗ и x ≤ 7/3,
и
так как
(-5+2sqrt(31))/3 < 7/3
О т в е т. [2; (-5+2sqrt(31))/3)