Задача 12896 Решите неравенство log(x^2)(x-1) больше...

slava191

14 января 2017 г.

Решите неравенство log_x²(x–1) ≥ log_6–x(x–1)

SOVA

14 января 2017 г.

★

ОДЗ:
{x²≠1;
{x–1 > 0;
{6–x > 0;
{6–x≠1
ОДЗ:х∈(1;5)U(5;6)
Перейдем к основанию (х–1) > 0, x–1≠1.
Заметим, что при х=2 данное неравенство принимает вид
log_2²(2–1)≥ log,(4)(2–1)– верное неравенство, поэтому х=2 является решением данного неравенства.

1/log_x–1x² ≥ 1/log_x–1(6–x)
или
(log_x–1(6–x)–log_x–1x²)/(log_x–1x² ·log_x–1(6–x)) ≥0
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки
Решение неравенства сводится к совокупности двух систем:
1){(log_x–1(6–x))–(log_x–1x²)≥0
{(log_x–1x²) ·(log_x–1(6–x)) > 0
или
2)){(log_x–1(6–x))–(log_x–1x²)≤0
{(log_x–1x²) ·(log_x–1(6–x)) < 0

Решаем систему 1), которая сводится к совокупности двух систем:
1a){log_x–1(6–x) ≥ log_x–1x²
{log_x–1x² > 0
{log_x–1(6–x)) > 0
или
1б){log_x–1(6–x) ≥ log_x–1x²
{log_x–1x² < 0
{log_x–1(6–x)) < 0
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств.
1a){(x–1–1)(6–x–x²)≥ 0 ⇒ (x–2)²·(x+3)≤0;
{(x–1–1)(x²–1) > 0 ⇒ (x+1)·(x–1)(x–2) > 0;
{(x–1–1)(6–x–1) > 0 ⇒ (x–2)·(x–5) < 0;
или
1б){(x–1–1)(6–x–x²)≥ 0 ⇒ (x–2)²·(x+3)≤0;
{(x–1–1)(x²–1) < 0 ⇒ (x+1)·(x–1)(x–2) < 0;
{(x–1–1)(6–x–1) < 0⇒(x–2)·(x–5) > 0.
Система 1а) не имеет решений, системы 1б) имеет решение(–∞;–3], которое не принадлежит ОДЗ.

Решаем систему 2), которая сводится к совокупности двух систем:
2a){log_x–1(6–x) ≤ log_x–1x²
{log_x–1x² > 0
{log_x–1(6–x)) < 0
или
2б){log_x–1(6–x) ≤ log_x–1x²
{log_x–1x² < 0
{log_x–1(6–x)) > 0
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств. Отвт=ет выбираем с учетом найденного ОДЗ.
2a){(x–1–1)(6–x–x²)≤ 0 ⇒ (x–2)²·(x+3)≥0;
{(x–1–1)(x²–1) > 0 ⇒ (x+1)·(x–1)(x–2) > 0;
{(x–1–1)(6–x–1) < 0 ⇒ (x–2)·(x–5) > 0;
или
2б){(x–1–1)(6–x–x²)≤0 ⇒ (x–2)²·(x+3)≥0;
{(x–1–1)(x²–1) < 0 ⇒ (x+1)·(x–1)(x–2) < 0;
{(x–1–1)(6–x–1) > 0⇒(x–2)·(x–5) < 0.
Система 2а) имеет решение [5;∞) с учетом ОДЗ х∈(5;6)
Система 2б) не имеет решений.
О т в е т. х ∈{2}U(5;6)