Задача 30281 ...

vk344135258

17 октября 2018 г. в 16:25

Даны комплексные числа z1 и z2 в алгебраической форме. Требуется: 1) представить z1 и z2 в тригонометрической форме; 2) найти: а) z1³ · z2⁴ ; б) z1⁵ / z2³ ; в) 4√z2 и построить.

5. z1 = –2 + 2√3i ; z2 = 1 – i

sova

17 октября 2018 г. в 18:02

★

z₁=(–2+2√3·i)

|z₁|=√(–2)²+(2√3)²=√4+12=√16=4
argz₁=phi

sin(phi)=y/|z₁|=2√3/4=√3/2
cos(phi)=x/|z₁)=–2/4=–1/2
phi=2π/3

z₁=4·(cos(2π/3)+i·sin(2π/3))

Аналогично

|z₂|=√1²+(–1)²=√2

argz₂=ψ

sinψ=y/|z₂|=–1/√2
cosψ=x/|z₂)=1/√2
ψ=–3π/4

z₂=√2·(cos(–3π/4)+i·sin(–3π/4))

так как
cos(–3π/4)=cos(3π/4)
sin(–3π/4) = – sin(3π/4)

z₂=√2·(cos(3π/4)–i·sin(3π/4))


Применяем формулу Муавра (cм. приложение)
a)
z³₁=4³(cos3·(2π/3)+i·sin3·(2π/3))= 64·(cos2π+i·sin2π)=64
z⁴₂=(√2)⁴·((cos4·(3π/4)–i·sin4·(3π/4))=
=4·(cos3π–i·sin(3π)= – 4

z³₁·z⁴₂=64·(–4)=–256

б)
z⁵₁=4⁵(cos5·(2π/3)+i·sin5·(2π/3))=
=1024·(cos(10π/3)+i·sin(10π/3))=
=1024·((–1/2)+i·(–√3/2)=–512–i·512√3

z³₂=(√2)³·((cos3·(3π/4)–i·sin3·(3π/4))=
= 2√2(cos(9π/4)–i·sin(9π/4)= 2√2·(–√2/2)–i·(–√2/2)=
= – 4+4·i

z⁵₁/z³₂=(–512–i·512√3)/(–4+4·i)=

сокращаем на 4 и умножаем и числитель и знаменатель на
(–1–i )

=(–128–i·128√3)·(–1–i)/(1+1)=

=(64 + 64√3)+(64+64√3)·i

в)

z^1/4₂=(√2)^1/4·cos(((–3π/4)/4)+(πk/2))+i·sin(cos(((–3π/4)/4)+(πk/2))

k=0,1,2,3

при k=0
(z^1/4₂)₀=2^1/8·(cos(3π/16)+i·sin(–3π/16))

при k=1
(z^1/4₂)₁=2^1/8·(cos(5π/16)+i·sin(5π/16))

при k=2
(z^1/4₂)₂=2^1/8·(cos(13π/16)+i·sin(13π/16))

при k=3
(z^1/4₂)₂=2^1/8·(cos(21π/16)+i·sin(21π/16))

4 числа, которые являются ответом.
См их расположение на рисунке.