Задача 41800 Найти частное решение линейного...

vk289444173

2019-11-21 22:58:52

Найти частное решение линейного дифференциального уравне-ния второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью при указанных начальных условиях. y''-9y'+20y=3e^(4x)
y(0)=0 y'(0)=0

sova

2019-11-21 23:11:50

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''–9y'+20y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9k+20=0

D=(-9)^2-4*20=1

k_(1,2)=(9 ± 1)/2

k_(1)=4; k_(2)=5– корни действительные различные


Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(k_(1)х)+C_(2)*e^(k_(2)x)

В данном случае

y_(одн.)=С_(1)*e^(4х)+C_(2)*e^(5x)


Так как k_(1)=4 и правая часть содержит e^(4x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=A*[b]x[/b]*e^(4x)


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=А*e^(4x)+A*x*e^(4x)*(4x)`=А*e^(4x)+4A*x*e^(4x)

y``_(част)=4A*e^(4x)+4*(А*e^(4x)+4A*x*e^(4x))=

=8А*e^(4x)+16A*x*e^(4x)


подставляем в данное уравнение:

8А*e^(4x)+16A*x*e^(4x))-9*(А*e^(4x)+4A*x*e^(4x))+20Ax*e^(4x)=3e^(4x)

-A*e^(4x)=3e^(4x)

A=-3



О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)=

[b]y=С_(1)*e^(4x)+C_(2)*e^(5x)-3*x*e^(4x)[/b]

При начальных условиях
y(0)=0
найдем значения коэффициентов
C_(1) и С_(2)

[b]0=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0)-3*0e^(0)[/b]

C_(1)+C_(2)=0

[blue]y`=4*С_(1)*e^(4x)+5*C_(2)*e^(5x)-3*e^(4x)-12x*e^(4x)[/blue]

y'(0)=0

[blue]0=4*С_(1)*e^(0)+5*C_(2)*e^(0)-3*e^(0)-12*0*e^(0)[/blue]

4C_(1)+5C_(2)=3

Система:
{[b]C_(1)+C_(2)=0[/b]
{[blue]4C_(1)+5C_(2)=3[/blue]

{[b]-4C_(1)-4C_(2)=0[/b]
{[blue]4C_(1)+5C_(2)=3[/blue]

Cкладываем:
C_(2)=3

C_(1)=-C_(2)=-3

Решение при начальных условиях:

[b]y=3*e^(4x)-3e^(5x)-3xe^(4x)[/b]