Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 23134 9.3.151) Найти объем тела, ограниченного...

Условие

9.3.151) Найти объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом x^2+y^2/4-z^2=1, и плоскостями z=0, z=3

математика ВУЗ 8006

Решение

Объем тела, содержащегося между плоскостями
z = а и z = Ь, выражается формулой:
V= ∫ ^(b)_(a)S(z)dz,
где S (z) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси ординат в точке z.

Плоскость, перпендикулярная оси Оz, в точке с апликатой z пересекает гиперболоид по эллипсу x^2+y^2/4=(1+z^2)
Запишем каноническое уравнение эллипса
(x^2/(1+z^2))+(y^2/(4(1+z^2)))=1
Площадь эллипса с полуосями а и в
равна Pi*a*b8

a=sqrt(1+z^2)
b=2sqrt(1+z^2)
S(сечения)=S(z)=Pi*a*b=2*Pi*(1+z^2)

V= ∫^(3) _(0)2*Pi(1+z^2)dz=2Pi(z+(z^3/3))|^(3)_(0)=

=2Pi(3-0+(27)/(3)-0)=24Pi

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК