x^(2)+y^(2)-4(a+1)x-2ay+5a^(2)+8a+3=0
y^(2)=x^(2)
имеет ровно четыре различных решения.
Рассматриваем два случая:
{[b]y=x[/b]
{x^2+x^2-4*(a+1)*x-2a*x+5a^2+8a+3=0
или
{[b]y=-x[/b]
{x^2+x^2-4*(a+1)*x-2a*(-x)+5a^2+8a+3=0
Решаем второе уравнение первой системы:
2x^2-(6a+4)*x+5a^2+8a+3=0
D=(6a+4)^2-4*2*(5a^2+8a+3)=36a^2+48a+16-40a^2-64a-24=-4a^2-16a-8=-4*(a^2+4a+2)
Если D >0 уравнение имеет два корня, система два решения:
a^2+4a+2 < 0⇒ [m]-2-\sqrt{2} < x < -2+\sqrt{2}[/m]
Решаем второе уравнение первой системы:
2x^2-(2a+4)*x+5a^2+8a+3=0
D=(2a+4)^2-4*2*(5a^2+8a+3)=4a^2+16a+16-40a^2-64a-24=-36a^2-48a-8=-4*(9a^2+12a+2)
D>0, уравнение имеет два корня, система два решения:
9a^2+12a+2<0 ⇒ [m]\frac{-2-\sqrt{2}}{3} < x < \frac{-2+\sqrt{2}}{3}[/m]
⇒ первая и вторая система имеют 4 решения при [red] a ∈ ( [m]\frac{-2-\sqrt{2}}{3}; -2+\sqrt{2}[/m])[/red]:
(-2-sqrt(2)) ____ ([m]\frac{-2-\sqrt{2}}{3}[/m]) \\\\\\\\\ (-2+sqrt(2)) ____ ([m]\frac{-2+\sqrt{2}}{3}[/m])
[b]2 способ Графический:[/b]
Выделяем полные квадраты в первом уравнении:
(x^2-4(a+1)x+(2a+2)^2)+(y^2-2ay+a^2)-(2а+2)^2-a^2+5a^2+8a+3=0
(x-(2a+2))^2+(y-a)^2=1
- уравнение окружности с центром в точке (2а+2;а) R=1
y^2=x^2 ⇒ |y|=|x| ⇒ y= ± |x| - две вертикальные прямые - биссектрисы 1-3 и 2-4 углов
Переформулируем задачу: при каких значения параметра а окружность пересекает прямые y= ± |x| в четырех точках
( см. рис.)
x_(o)=2a+2
y_(o)=a ⇒
центры окружностей находятся на прямой [green]x=2y+2
[/green]
Окружность [red]x^2+(y-1)^2=1[/red] имеет с прямыми три общие точки.
Сдвиг влево, про прямой [green]x=2y+2[/green] приведет к тому, что точек пересечения менее четырех.
Значит двигаем вправо.
[blue](x-2)^2+y^2=1[/blue] не имеет точек пересечения с прямыми.
Значит окружности расположены между красной и синей.
Как найти значения а при этом затрудняюсь ответить. См аналитическое решение выше.