Задача 42608 ...

vk81772766

13 декабря 2019 г. в 20:47

Найдите область сходимости ряда Σ (x + 1)ⁿ / 2n

sova

13 декабря 2019 г. в 21:58

★

По признаку Даламбера:
находим
[m]\lim_{n \to \infty }\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_{n}(x)|}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{|x+1|^{n+1}}{2(n+1)}}{\frac{|x+1|^{n}}{2n}}= |x+1|\lim_{n \to \infty }\frac{2n}{2n+1}=|x+1|[/m]

Если
|x+1| < 1 ряд сходится,
т.е при –2 < x < 0

При x=–2
получаем знакочередующийся числовой ряд ∑ ^∞ ₁(–1)^n/2n, который сходится по признаку Лейбница
|а_n|=1/2n → 0 при n → ∞
и
числовая последовательность
{|a_n|}^{+ ∞} ₁={1/(2n)} ^{+ ∞} ₁монотонно убывает,

потому что функция

f(x)=1/(2x) –монотонно убывает,потому что проивзодная функции

f`(x)=–1/(2x²) < 0

f(n)=|a_n|

При x=0
получаем числовой ряд ∑ ^∞ ₁1/(2n)=(1/2)·∑ ^∞ ₁1/n,

который расходится, так как расходится гармонический ряд ∑ ^∞ ₁1/n,

умножение ряда на константу не влияет на его сходимость