Задача 45825 Найти площадь поверхности...

vk301315632

2020-04-02 14:28:25

Найти площадь поверхности y^2+z^2=(sin(x))^2 (0<=x<=pi)

sova

2020-04-02 15:43:59

z^2=sin^2x-y^2;

z= ± sqrt(sin^2x-y^2)

Cчитаем площадь одной поверхности

z=sqrt(sin^2x-y^2)

S_(поверхности)= ∫ ∫ _(D) sqrt(1+(z`_(x))^2+(z`_(y))^2)dxdy

z`_(x)=[m]\frac{(sin^2x-y^2)`_{x}}{2\sqrt{sin^2x-y^2}}[/m]

z`_(y)=[m]\frac{(sin^2x-y^2)`_{y}}{2\sqrt{sin^2x-y^2}}[/m]

z`_(x)=[m]\frac{2sinx\cdot (sinx)`}{2\sqrt{sin^2x-y^2}}[/m] ⇒ z`_(x)=[m]\frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{sin^2x-y^2}}[/m]

z`_(y)=[m]\frac{-y}{\sqrt{sin^2x-y^2}}[/m]


S_(поверхности)= ∫ ∫ _(D) [m]\sqrt{1+(\frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{sin^2x-y^2}})^2+(\frac{-y}{\sqrt{sin^2x-y^2}})^2}[/m]dxdy

S_(поверхности)= ∫ ∫ _(D)[m] \sqrt{\frac{sin^2x-y^2+sin^2x\cdot cos^2x+y^2}{sin^2x-y^2}}[/m]dxdy

S_(поверхности)= ∫ ∫ _(D)[m] \sqrt{\frac{sin^2x+sin^2x\cdot cos^2x}{sin^2x-y^2}}[/m]dxdy