Задача 11836 ...

slava191

26 ноября 2016 г.

В основании прямой призмы АВСDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD. Точка К – середина ребра ВВ1. Плоскость α проходит через середины ребер АВ и ВВ1 параллельно прямой В1D.

А) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость α, если известно, что ВС=7, АD=25, АВ=15, ВВ1=8.

SOVA

26 ноября 2016 г.

★

Пусть М– середина АВ, АМ=МВ.
В треугольнике ВВ1D проводим КО || B1D.
Так как ВК=КВ1, КО– средняя линия треугольника ВВ1D.
BO=OD.
МО – средняя линия треугольника АВD,
MO||AD, AD||BC, значит МО||ВС.
MN–средняя линия трапеции АВСD.
CN=ND.
КF||BC, KF=BC,
C1F=FC.
KF||MN, значит ABCD– трапеция.

Грани AA1B1B и СС1D1D– равны. AA1=BB1=CC1=DD1.
AB=CD.
Значит и диагонали этих граней равны. АВ1=DC1
MK=AB1/2=DC1/2=FN
Cечение МКFN – равнобедренная трапеция.

Б) h(трапеции)=√15²–9²=12
MN=(BC+AD)/2=(7+25)/2=16

V(призмы АВСВА1В1С1D1)=S(трапеции АВСD)·H=
=((7+25)·12/2)·8=1536 куб.ед.

v(меньшей части)=1/2 V1
V1–объем прямой призмы с основанием МВСN и высотой КВ=Н/2.
V1=((BC+MN)·h/2)/2(·H/2)=((7+16)·6/2)·4=276
v=276/2=138 куб.ед.

V(большей части)=V(призмы АВСВА1В1С1D1)–v(меньшей части)=1536–138=1398 куб.ед
О т в е т. 1398 куб. ед.