Задача 12700 Дан треугольник ABC. На луче BABA за...

u466325056

04.01.2017

Дан треугольник ABC. На луче BABA за точкой AA взяли точку XX, а на луче BCBC за точкой CC взяли точку YY так, что XA=YC=ACXA=YC=AC. Прямые AYAY и CXCX пересекаются в точке ZZ. Из точки ZZ опустили перпендикуляр ZHZH на ACAC.Известно, что AB=7AB=7, CB=6CB=6, AH=2AH=2. Найдите CHCH.

SOVA

05.01.2017

★

Пусть ХА=УС=АС=а.
Δ ХАС - равнобедренный, ∠АХС=∠АСХ.
Обозначим ∠АХС=∠АСХ=α.
Δ АСУ - равнобедренный, ∠САУ=∠СУА.
Обозначим∠САУ=∠СУА=β.
(см. рис. 1)
Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных, в треугольнике АВС: ∠ВАС=2α, ∠ВСА=2β.

Проведем биссектрисы угла А и С треугольника АВС, пусть они пересекаются в точке Т.
АТСZ- параллелограмм.
(см. рис. 2)
AT||CX и СT || AY ( потому что внутренние накрест лежащие углы равны.
Диагональ АС параллелограмма АТСZ делит его на два равных треугольника: ΔАTС =Δ ACZ.
Проведем TK ⊥ AC
СК=АН=2

Так как T - центр вписанной в треугольник АВС окружности, то отрезки касательных проведенных из одной точки равны.
Значит отрезки касательных, проведенных из точки В равны BC-2=6-2=4
Отрезки касательных проведенных от точки А тоже равны.
7-4=3
Значит АК=3
АС=АК+КС=3+4=7
СН=7-4=3
О т в е т. 3