Задача 34286 Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из...

yelymcheav

8 марта 2019 г. в 00:57

Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из сторон квадрата, а точка M(1;2) его вершина. Составить уравнение остальных сторон квадрата

sova

8 марта 2019 г. в 12:20

★

Cм. рисунок

Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х–у+1=0
это длина стороны квадрата

d(M, 4x–y+1=0)=|4x_M–y_M+1|/√17=|4·(1)–2+1|/√17= 3/√17

Уравнение прямой 4x–y+1=0 можно записать
y=4x+1
k=4
k=tg α ;
Значит прямая c угловым коэффициентом 4 – это диагональ прямоугольника, размеры 1 × 4 ( длина 1, высота 4: tgα=4/1)

Параллельная ей прямая проходит через точку М
k=4
y=4x+m
Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=4·1+m
m=–2

y=4x–2

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=–1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (–1))

y=(–1/4)x + b

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(–1/4)·1+b
b=2 целых 1/4

y=(–1/4)x + 2 целых 1/4⇒ 4y+x–9=0

Третья сторона имеет угловой коэффициент k=(–1/4) и находится на расстоянии 3/√17 от точки M (1;2)

y=(–1/4)x+n
или
4y+x–4n=0

3/√17 =|4y_M+x_M–4n|/√17

3/√17 =|4·1+2–4n|/√17

|4·2+1–4n|=3 ⇒

9–4n=–3 или 9–4n=3
n=3 или n=3/2
4y+x–12 =0 или 4y+x–6=0

О т в е т. y=4x–2; 4y+x–9=0; 4y+x–12 =0 (или 4y+x–6=0)