Задача 44523 15 декабря планируется взят кредит в...
Условие
— 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15–го числа каждого месяца с 1 –го по n–й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15–е число предыдущего месяца;
— 15–го числа n–го месяца долг составит 400 тысяч рублей;
— к 15–му числу (n+1)–го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите га, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 3248 тысяч рублей.
Все решения
1) условие
–1–го числа каждого месяца долг увеличивается на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца
4%=0,04
См первый столбик (ежемесячное начисление процентов на остаток долга)
2) условие
– со 2го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
и так, чтобы
выполнялось условие
3) условие
15–го числа каждого месяца с 1–го по n–й месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15–е число предыдущего месяца;
Это показано в правом столбце таблицы
4) условие
15–го числа n –го месяца долг составит 400 тысяч рублей
С него и начинаем решать задачу, так называемым "методом решения задачи с конца"
Пусть долг ежемесячно уменьшается на одну и ту же величину х тыс руб
Тогда в конце (n–1)–го месяца он составит (400+1·х) тыс руб.
В конце (n–2)–го месяца долг составит (400+2·х) тыс руб.
.....
В конце первого месяца от будет (400+(n–1)·х) тыс руб.
И поскольку согласно условия 3) долг и за 1–ый месяц уменьшился на х тыс. руб, то значит
сумма кредита составляет (400+n·х) тыс руб.
В первом столбце– начисление процентов.
Проценты начисляют на остаток долга
Поэтому за 1–ый месяц проценты начислены на весь кредит.
4%=0,04
0,04· (400+n·х) тыс руб – проценты , начисленные
в первый месяц
Клиент выплачивает со второго по 14 число первого месяца :
эти проценты и часть кредита x тыс руб
0,04· (400+n·х) + х
При таких условиях выплаты остаток долга уменьшится на х тыс. руб.
и станет равным (400+(n–1)·х) тыс руб.
Первого числа второго месяца начисляют проценты на этот остаток:
0,04· (400+(n–1)·х) тыс руб. – проценты , начисленные во второй месяц
Клиент выплачивает со второго по 14 число второго месяца :
эти проценты и часть кредита x тыс руб
0,04· (400+(n–1)·х + х
и остаток долга снова уменьшится на х тыс. руб. и станет равным
(400+(n–2)·х)
Цикл повторяется n раз
По условию задачи общая сумма выплат 3248 руб. Из них 2000 взятый кредит, значит по процентам выплачено 1248 тыс руб .
Складываем слагаемые первого столбца и получаем уравнение:
0,04· (400+n·х) +
+0,04· (400+(n–1)·х)+
...
+0,04· (400+2·х) +
+0,04· (400+1·х)+
+0,04·400= 1248
Слева (n+ 1) –слагаемое, выплата процентов проводилась в течении всего срока кредита, в течении
(n+1) месяца
0,04·(400·n +(n–1)+...+2+1)+0,04·400=1248
В скобках сумма n– членов арифметической прогрессии
0,04·400·n + 0,04x·[m]\frac{1+n}{2}\cdot n[/m] +16=1248
0,04·400·n+0,02·n·(n+1)x=1232
Так как сумма кредита известна , то составим второе уравнение:
400+n·х=2000 ⇒ из которого n·х=1600
подставим в первое вместо nx
0,04·400·n+0,02·n·(n+1)x=1232
16n+0,02·1600·(n+1)=1232
16n+32(n+1)=1232
48n=1200
n=25
О т в е т. 25 месяцев
