1)Вычислить высоту BD треугольника заданного своими вершинами
A(1; − 2; 8); B(0; 0; 4); C(6; 2; 0)
Ответы: а) 0,5; б) 3; в) -1,5; с) 1,5
2)Даны векторы a = (2;1; 4); G b = (3; 0; 3); G c = (3;1; 0). G
Вычислить: a × c + 2 b × c + a × b
Ответы: а) не имеет смысла; б) 18 + 161 + 99;
в) (−3; 9; 3); г) 18 + 260;
Указание: Исходить из определения векторного произведения и модуля век-
тора.
3) При каких α и β векторы a и b коллинеарны, если
a = αi + 5 j − k , b = 3i + j + βk
Ответы: а) 15 и 1; б)-15 и 1; в)15 и ;
5
1 − г)
5
1
и -15;
4) Даны векторы a = (1; − 3; 4); G b = (3; − 4; 2); c = (−1;1; 4).
Найти: npb+ca .
Ответы: а) -5; б) 8; в) 5; г)-8;
5) Показать, что точки A(5; 7; − 2); B(3; 1; −1); C(9; 4; − 4); D(1; 5; 0);
лежат в данной плоскости.Указание: Показать, что (AB, AC, AD) = 0
4 1 4 1 4 1
3 1 3 1 3 1
2 1 2 1 2 1
=
− − −
− − −
− − −
x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z
Ответы: а)12; б) 48; в)-12; г)0
И последнее
Какую кривую второго порядка определяет каждое из заданных уравнений?
Найти все известные вам их характеристики.
а) у
2
-8х+12у+76=0; б) 1
1
−
− + = x
x
y .
S( Δ ABC)=(1/2)|vector{AB} × vector{AС} |
C другой стороны
S( Δ ABC)=(1/2)AC*BD
BD=2S( Δ ABC)/AC
vector{AB} =(-1;2;-4)
vector{AС}=(5;4;-8)
Векторное произведение - определитель третьего порядка(см приложение)
|vector{AB} × vector{AС} |=sqrt(0^2+(-28)^2+(-14)^2)=14sqrt(5)
AC=| vector{AС}|=sqrt(5^2+4^2+(-8)^2)=sqrt(105)
BD=14sqrt(5)/sqrt(105)=14*sqrt(21)/21=(2/3)sqrt(21)
3.
vector{a} =( α ;5;-1)
vector{b}=(3;1; β)
Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
Составляем пропорцию
α : 3 = 5:1 = (-1): β
α : 3 = 5:1
[b]α=15[/b]
5:1 = (-1): β
[b]β =-1/5[/b]
4.
vector{b}+vector{c}=(2;-3;6)
|vector{b}+vector{c}|=sqrt(2^2+(-3)^2+6^2)=sqrt(49)=7
пр_(vector{b}+vector{c}) vector{a}=vector{a}*(vector{b}+vector{c})/|vector{b}+vector{c}|=
=(1*2+(-3)*(-3)+4*6)/7=35/7=5
6. (y^2+12y+36)=8x-40
(y+6)^2=8(x-5)
(y`)^2=8(x`) - каноническое уравнение параболы.
имеющую осью симметрии Ох, ветви направлены по направлению оси Ох
значит
(y+6)^2=8(x-5) -парабола,.
имеющую осью симметрии || оси Ох, ветви направлены по направлению оси Ох
Точка O(0;0) перенесена в точку (5;-6)
cм. рис.
y=- (x+1)/(x-1)
y=-(x-1+2)/(x-1)
y= -1 -(2/(x-1)) гипербола
см. рис.