Задача 29530 Окружность радиуса 5 с центром О ,...

slava191

9 сентября 2018 г. в 12:09

Окружность радиуса 5 с центром О , лежащим на стороне АВ треугольника АВС, касается сторон АС и ВС . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС , если АО = 13 и ВО = 7. [9.32]

sova

9 сентября 2018 г. в 22:18

★

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
ОP=OT=OK=OM=5

АК=АО–ОК=13–5=8
ВМ=ВО–МО=7–5=2

По теореме Пифагора из треугольника APO
АP=√AO²–OP²=√13²–5²=√144=12

Обозначим ∠ СAB=α
sinα = OP/AO = 5/13;
cosα = AP/AO = 12/13.

По теореме Пифагора из треугольника BTO
BT=√BO²–OT²=√7²–5²=√24=2√6
Обозначим ∠ СBA=β
sinβ = OT/OB = 2√6/7;
cos β =BT/OB=5/7.

Так как AB=13+7=20
по теореме синусов

AB/sin ∠ ACB=2R

∠ ACB=180 ° – α – β

sin∠ ACB=sin(180 ° – α – β )=sin( α+ β)=

=sin α ·cos β +cos α ·sin β =

=(5/13)·(2√6/7)+(12/13)·(5/7)=10(6+√6)/91

R=10·91/10·(6+√6)= 91/(6+√6)

О т в е т. 91/(6+√6)