Задача 8644 Дан прямоугольный треугольник ABC с...

Mari 13

24.04.2016

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом с. На катете ас взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что MN и ВО параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BONM,если СN=4 и АМ : МС как 1:3.

SOVA

24.04.2016

★

ОN=OC=OM как радиусы окружности.
Треугольник ОNC - равнобедренный, ОВ- биссектриса угла NOC.И медиана. Треугольник NCB - равнобедренный,
∠NBO=∠CBO.
Треугольник АNO - прямоугольный, ∠AON=∠ABC.
Треугольник MNO - равнобедренный.

∠МNО=∠NOB=90°-(∠ABC/2).
Внутренние накрест лежащие углы равны, значит прямые параллельны.

2) Пусть АМ=х, МС=3х. Тогда МО=ОС=ОN=1,5x.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОN:
AN²=AO²-ON²; AN²=(2,5x)²-(1,5x)²;AN²=4x²; AN=2x.
Треугольники АОN и АВС подобны по двум углам: угол А - общий, вторые равные углы- прямые.
АО:AN=AB:AC, 2,5x:2x=AB:4x, AB=5x, BN=5x-2x=3x.
BC=BN=3x.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ВОС:
BO²=OC²+BC²; BO²=(1,5x)²+(3x)²;BO²=11,25x²; BO=3x√5/2.
Площадь прямоугольного треугольника ВОС, равная половине произведения катетов ОС и ВС и площадь, равная половине произведения основания ВО на высоту h=(1/2)CN=2 поможет найти х.
1,5х•3х=2•(3x√5/2), х=2√5/3.
Площадь четырехугольника найдем как разность площади треугольника АВС и треугольников ВОС и АМN.
S(ΔАВС)=АС•ВС/2=4х•3х/2=6х²=6•(2√5/3)²=40/3.
S(ΔВОС)=ОС•DC/2=1,5х•3х/2=9х²/4=9•(2√5/3)²/4=5.
S(ΔAMN)=(AM•AN•sin∠A)/2.
sin∠A=BC/AB=3x/5x=0,6 ( из прямоугольного треугольника АВС);
S(ΔAMN)=x•2x•0,6/2=0,6x²=0,6•(2√5/3)²=4/3;
S(четырехугольника BOMN)=S(ΔАВС)-S(ΔВОС)-S(ΔAMN)=(40/3)-5-(4/3)=(36/3)-5=12-5=7.