Задача 34827 Решить неравенство: (x^2+x+1)^(x^2-3x-4)...

eac201

22 марта 2019 г. в 20:34

Решить неравенство: (x²+x+1)^x2–3x–4 < (x+5)^x2–3x–4

sova

22 марта 2019 г. в 21:14

ОДЗ:
x²+x+1>0⇒ x – любое, D =1–4 <0
x+5 >0 ⇒ x>–5
x²+x+1≠1 ⇒ x≠–1 и х≠0
x+5≠1⇒х ≠–4


Так как

(x+5)^x2–3x–4 > 0

можно разделить обе части неравенства

на (x+5)^x2–3x–4

получим:
((x²+x+1)/(x+5))^x2–3x–4 < 1

1=((x²+x+1)/(x+5))⁰

Если
(1)
{(x²+x+1)/(x+5) > 1 показательная функция возрастает,
{x²–3x–4 < 0

(2)
{0< (x²+x+1)/(x+5) < 1 показательная функция убывает,
{x²–3x–4 >0


Решаем первую систему на ОДЗ:

(x²+x+1)/(х+5)> 1 ⇒ (x²+x+1–x–5)/(x+5) >0 ⇒ (x²–4)|(x+5) >0

(–5)__+__ (–2) _–__ (2)__+__

x²–3x–4=0
D=9–4·(–4)=25
x=–1 или х=4

(–5)______+__ (–1) _–__ (4) _+__

{ х ∈(–5;–2)
{x х ∈(–1;4)

О т в е т. (1) х ∈ (2;4)

Решаем вторую систему на ОДЗ, используя уже имеющиеся данные
(x²+x+1)/(x+1)>0 согласно ОДЗ

{(–2;2)
{(–5;–1)U(2;4)

О т в е т (2) х ∈ (–2;–1)

Осталось объединить ответы (1) и (2):
О т в е т. (–2;–1) U (2;4)