Находим производную.
по формуле производной дроби:
y`=[m]\frac{(x^2+3x)`(x-4)-(x^2+3x)(x-4)`}{(x-4)^{2}}[/m]
y`=[m]\frac{(2x+3)(x-4)-(x^2+3x)}{(x-4)^{2}}[/m]
y`=[m]\frac{2x^2+3x-8x-12-x^2-3x}{(x-4)^{2}}[/m]
y`=[m]\frac{x^2-8x-12}{(x-4)^{2}}[/m]
y`=0
x^2-8x-12=0
D=64+48=112
sqrt(112)=sqrt(16*7)=4*sqrt(7)
x_(1)=(8-4sqrt(7))/2=4-2sqrt(7)
x_(2)=4+2sqrt(7)
Расставляем знак производной на области определения
(знаменатель (х-4)^2>0, значит знак производной зависит от знака числителя. В числителе квадратный трехчлен. Коэффициент при х^2 положителен, значит между корнями квадратного трехчлена знак минус, слева от наименьшего корня и справа от наибольшего знак +)
__+__ (4-2sqrt(7)) __-__ (4) __-__ (4+2sqrt(7)) __+__
y`>0 на (- ∞ ;4-2sqrt(7)) и на (4+2sqrt(7);+ ∞ )
функция возрастает на (- ∞ ;4-2sqrt(7)) и на (4+2sqrt(7);+ ∞ )
y`<0 на (4-2sqrt(7);4) и на (4;4+2sqrt(7))
функция убывает на (4-2sqrt(7);4) и на (4;4+2sqrt(7))