Задача 37732 Найдите все значения [b]а[/b] при...

vk235816663

2019-05-29 08:51:16

Найдите все значения [b]а[/b] при которых уравнение

[block](x^2-2x+a^2-8a)/(x^2+2x-a) = 0[/block]

имеет два различных корня.

sova

2019-05-29 10:37:29

★

Дробь равна 0 если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.

Система
{x^2-2x+a^2-8a=0
{x^2+2x-a ≠ 0

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант положителен.

D=(-2)^2-4*(a^2-8a)=4-4a^2+32a

D>0

4-4a^2+32a >0

4a^2-32a-4 < 0

a^2-8a-1 <0

a_(1)= (8-sqrt(68))/2=4-sqrt(17); a_(2)=4+sqrt(17)

Значит решение неравенства:
(4-sqrt(17); 4+sqrt(17))

Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя являются корнями и знаменателя.

x^2-2x+a^2-8a=x^2+2x-a

4х=a^2-7a

x=(a^2-7a)/4

то

((a^2-7a)/4)^2+2*(a^2-7a)/4 - a=0

(a^4-14a^3+49a^2)/16+(8a^2-56a)/16 - (16a/16)=0

a^4-14a^3+49a^2+8a^2-56a-16a=0

a*(a^3-14a^2+57a-72)=0

a=0 или a^3-14a^2+57a-72=0 ⇒ (a-3)^2*(a-8)=0 ⇒ a=3 или а=8

О т в е т. [b] (4-sqrt(17);0) U (0; 3) U(3;8)U(8;4+sqrt(17))[/b]