Задача 47405 Найти общее решение дифференциального...

vk306899767

16 апреля 2020 г. в 20:40

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию.

xy' – 2y = 2x⁴, y(1) = 0

sova

16 апреля 2020 г. в 20:43

★

Делим уравнение на (х)

y`–(2/x)·y=2x³


Это линейное уравнение.

Решаем способом Бернулли.

Решение в виде
y=u·v
Находим
y`=u`·v+u·v`
Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v` –(2/x)·u·v=2x³

Сгруппируем:

u`·v+u(v`–(2/x)v)=2x³

Выбираем функцию v так,чтобы
v`–(2/x)v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`–(2/x)v=0 ⇒ dv/dx=2v/x

⇒ ∫ dv/v=2∫ dx/x ⇒ ln|v|=2ln|x| ⇒ v=x²

Тогда данное уравнение принимает вид

u`·x²+u·(0)=2x³

u`=2x

du=2xdx

∫ du=2 ∫ xdx

u=x²+C


y=u·v

y=(x²+C)·x²

y=x⁴+Cx² – общее решение

y(1)=0

x=1; y=0


0=1+C·2

C=–1

y=x⁴–x² – частное решение, соответствующее условию y(1)=0