Задача 33676 ...

vk246919496

18 февраля 2019 г. в 09:00

Дано:
z₁ = 4 + 3i, z₂ = 1 – √3i

Найти: ..

sova

18 февраля 2019 г. в 10:53

1) z₁·z₂=( 4 + 3i)·(1 –√3 ·i)=
= 4+3·i –4√3·i –3√3·i²=
=(так как i²=–1)=
= 4++3·i –4√3·i +3√3=
=(4+3√3)+(3–4√3)·i

z₁– z₁·z₂= (4+3·i) – (4+3√3)–(3–4√3)·i=

= –3·√3 +4√3·i

2) z₁/z₂=( 4 + 3i)/(1 –√3 ·i)
( умножаем и числитель и знаменатель на (1+√3·i))

=( 4 + 3i)(1+√3·i)/((1 –√3 ·i)(1+√3·i))

=(4+3·i+4√3·i+3√3·i²)/(1 –(√3)²· i²)=

=((4–3√3) +(3+4√3)·)/(4)=

=(1/4)·(4–3√3) + (1/4)·(3+4√3)·i


3)
z⁶₁=(4+3·i)⁶=((4+3·i)²)³=(7+24·i)³=

можно возвести в куб по формуле (a+b)³

=7³+3·7²·24·i–3·7·24²–24³·i


z¹²₂=(1–√3·i)¹²

Запишем z₂ в тригонометрической форме и применим формулу Муавра
( см. приложение)
z₂=(1–√3·i)

|z₂|=√1²+(–√3)²=√1+3=√4=2
argz₂=phi

sin(phi)=y/|z₂|=–√3/2
cos(phi)=x/|z₂)=1/2
phi=(–π/3)

z₂=2·(cos(–π/3)+i·sin(–π/3))

z¹²₂=2¹²·(cos(–π/3)·12+i·sin(–π/3)·12)=

=2¹²·(cos(–4π)+i·sin(–4π))=

=2¹²


z⁶₁/z¹²₂=((7³–3·7·24)+(3·7²·24–24³)·i )/ 2¹²

можно упростить.
4)
z₁=(4+3·i)

z²₁=(4+3·i)·(4+3·i)=16+24·i–9=7+24·i

z₃=z²₁/z₂=(7+24·i)/(1–√3·i)=(7+24·i)(1+√3·i)/4=

=(7+24·i+7√3·i–24√3)/4=

=(7–24√3)+(24+7√3)·i

|z₃|=√(7–24√3)²+(24+7√3)²=

=√49–7·48·√3+576·3+576–7·48√3+49·3=

=√49·4+576·4=2·√49+576=2·√625=2·25=50
argz₃=phi

sin(phi)=y/|z₃)=(24+7√3)/50
cos(phi)=x/|z₂)=(7–24√3)/50
tg(phi)=(24+7√3)/(7–24√3)
???

Извлечь корень 4–ой степени можно по формуле извлечения корней, но аргумент не найден