Задача 32365 Найти производную функции u=xz/y^5 +...

vk440374396

2018-12-23 21:52:08

Найти производную функции u=xz/y^5 + xz^3y^2 + y/z^2 в точке M(2, 1, –1) по направлению, идущему от этой точки к точке P(4,–2, 5).

sova

2018-12-23 22:09:41

★

u`_(MP)=u`_(x)(M)cos α +u`_(y)(M)cos β +u`_(z)(M)cos γ

u`_(x)=(xz/y^5)`_(x) + (xz^3y^2)`_(x) + (y/z^2)`_(x)=

=(z/y^5)*(x`)+(z^3y^2)*(x`)+0=(z/y^5)+(z^3y^2)

u`_(y)=(xz/y^5)`_(y) + (xz^3y^2)`_(y) + (y/z^2)`_(y)=

=(xz)*(y^(-5)`)+(x*z^3)*(y^2)`+(1/z^2)*y`=

=-5xzy(-6) +2xz^3y+(1/z^2)


u`_(z)=(xz/y^5)`_(z) + (xz^3y^2)`_(z) + (y/z^2)`_(z)=

=(x/y^5)(z`)+(x*y^2)*(z^3)`+y*(z^(-2))`=

=(x/y^5)+3xy^2z^2-2yz^(-3)

u`_(x)(M)=(-1/1^5)+((-1)^3*1^2)=-2

u`_(y)(M)=-5*2*(-1)*1^(-6) +2*2(-1)^3*1+(1/(-1)^2)=10-4+1=7

u`_(z)(M)=(2/1^5)+3*2*1^2(-1)^2-2*1*(-1)^(-3)=2+6+2=10

vector{MP}=(4-2;-2-1;5-(-1))=(2;-3;6)

|vector{MP}|=sqrt(2^2+(-3)^2+6^2)=sqrt(49)=7
Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =2/7
cos β =-3/7
cos γ =6/7

О т в е т.
u`_(MP)(M)=u`_(x)(M)cos α +u`_(y)(M)cos β +u`_(z)(M)cos γ =

=-2*(2/7)+7*(-3/7)+10*(6/7)=36/7