f(P,t)=( PQ – 3000Q –1000000 – tQ) рублей
Q=15 000 - P
Значит P=15 000 - Q
Выразим прибыль через Q и t
f(Q,t)=(15 000-Q)*Q-3 000Q-1 000 000 - tQ
или
f(Q,t)=-Q^2+(12 000-t)Q- 1 000 000
По условию
фирма производит такое количество товара, при котором ее прибыль максимальна.
Исследуем функцию на экстремум на [0; 15 000]
Находим производную по переменной Q
f`(Q,t)_(Q)=-2Q+(12 000 -t)
Приравниваем к 0
-2Q+(12 000 -t)=0 ⇒
Q=(12 000 - t)/2 - точка максимума, производная меняет знак с - на +
Обозначим
g(t)=tQ - налог, собранный государством
Подставим наибольшее Q=(12 000 - t)/2
и получим
g(t)=(12 000 - t)*t/2
Исследуем функцию g(t) на максимум на (0; 10 000)
g`(t)=6000 - t
g`(t)=0
t=6000
6000- внутренняя точка (0; 10 000), это точка максимума, производная меняет знак с + на -
О т в е т. 6000