Задача 38279 y''+4y' = x^2...

vk390991176

21 июня 2019 г. в 17:55

y''+4y' = x²

sova

21 июня 2019 г. в 18:37

★

Решаем однородное:
y``–4y`=0
Составляем характеристическое уравнение:
k²–4k=0
k·(k–4)=0

k₁=0; k₂=4

Корни действительные различные

y=C₁e^k₁x+C₂·e^k₂x

y=C₁e^0x+C₂·e^4x – общее решение однородного.

уравнения

или

y=C₁+C₂·e^4x , так как e^0x=1


f(x)=x²

Так как x=0 – корень характеристического уравнения, то

y_{частное неоднородного}=х·(Аx²+Bx+C)

y_{частное неоднородного}=Аx³+Bx²+Cx
y`_ч.н=3Ах²+2Вx+C
y``_ч.н=6Ax+2B

Подставляем в уравнение
y``–4y`=x²
6Ax+2B–4·(3Ах²+2Вx+C)=x²

–12Ax²+(6A–8B)x+2B–4C=x²

Равенство двух многочленов:

–12А=1
6А–8В=0⇒ 8B=6A; 8B=–6/12; 8B=–1/2
2В–4С=0⇒ 4C=2B; 4C=–1/8; C=–1/32

А=–1/12
В=–1/16
С=–1/32

y_{частное неоднородного}=(–1/12)x³–(1/16)x²–(1/32)х

О т в е т. y=y_{общее однород}+y_{частн неодн}

y= C₁+C₂·e^4x – (1/12)x³–(1/16)x²–(1/32)х