Задача 20304 Все на картинке...
Условие
Решение
{x-1 больше или равно 0;
{x-2sqrt(x-1) больше или равно 0
{x больше или равно 1;
{x больше или равно 2sqrt(x-1).
Возводим второе в квадрат.
{x больше или равно 1;
{x^2 больше или равно 4(x-1).
{x больше или равно 1;
{x^2 -4х+4 больше или равно 9.
ОДЗ: х больше или равно 1
Умножаем обе части на выражение сопряженное тому, что написано слева, т.е. на сумму
sqrt(x+2sqrt(x-1))+sqrt(x-2sqrt(x-1))
Применив слева формулу (а-b)(a+b)=a^2-b^2, получим
х+2sqrt(x-1)-(x-2sqrt(x-1))=2*(sqrt(x+2sqrt(x-1))+sqrt(x-2sqrt(x-1)))
или
4sqrt(x-1)=2*(sqrt(x+2sqrt(x-1))+sqrt(x-2sqrt(x-1)))
Делим на 2
2sqrt(x-1)=sqrt(x+2sqrt(x-1))+sqrt(x-2sqrt(x-1))
Перепишем друг под другом данное уравнение и то, которое получили.
sqrt(x+2sqrt(x-1))-sqrt(x-2sqrt(x-1))=2
sqrt(x+2sqrt(x-1))+sqrt(x-2sqrt(x-1))=2sqrt(x-1)
Cкладываем
2sqrt(x+2sqrt(x-1))=2+2sqrt(x-1)
Делим на 2
sqrt(x+2sqrt(x-1))=1+sqrt(x-1)
Возводим в квадрат
х+2sqrt(x-1)=1+2sqrt(x-1)+x-1- верно при любом х из ОДЗ
О т в е т. [1;+ бесконечность)