Задача 20304 sqrt(x + 2sqrt(x - 1)) - sqrt(x -...

u8314945138

12 марта 2017 г. в 00:00

√x + 2√x – 1 – √x – 2√x – 1 = 2

SOVA

12 марта 2017 г. в 00:00

★

ОДЗ:
{x–1 ≥ 0;
{x–2√x–1 ≥ 0

{x ≥ 1;
{x ≥ 2√x–1.
Возводим второе в квадрат.

{x ≥ 1;
{x² ≥ 4(x–1).

{x ≥ 1;
{x² –4х+4 ≥ 9.

ОДЗ: х ≥ 1

Умножаем обе части на выражение сопряженное тому, что написано слева, т.е. на сумму
√x+2√x–1+√x–2√x–1
Применив слева формулу (а–b)(a+b)=a²–b², получим
х+2√x–1–(x–2√x–1)=2·(√x+2√x–1+√x–2√x–1)
или
4√x–1=2·(√x+2√x–1+√x–2√x–1)
Делим на 2
2√x–1=√x+2√x–1+√x–2√x–1

Перепишем друг под другом данное уравнение и то, которое получили.
√x+2√x–1–√x–2√x–1=2
√x+2√x–1+√x–2√x–1=2√x–1

Cкладываем
2√x+2√x–1=2+2√x–1
Делим на 2
√x+2√x–1=1+√x–1
Возводим в квадрат
х+2√x–1=1+2√x–1+x–1– верно при любом х из ОДЗ

О т в е т. [1;+ ∞)