Задача 46139 Найти наименьшее значение функции...

slava191

2020-04-06 12:25:29

Найти наименьшее значение функции (12)

f(x) = |sqrt(-x^2+6x-5)-3| + sqrt(-x^2+6x-5) + x^3 + 6x^2

sova

2020-04-06 15:28:10

★

Область определения функции определяется неравенством:
-x^2+6x-5 ≥ 0 ⇒ x^2-6x+5 ≤ 0
D=36-20=16
x_(1)=1; x_(2)=5

[b]x ∈ [1;5][/b]

Так как
sqrt((–x^2+6x–5))–3 < 0 при всех х ∈ [1;5]

√(–x^2+6x–5) < 3 ⇒

-x^2+6x-5 <9;

-x^2+6x-14<0;

D <0 , то

|√(–x^2+6x–5)–3|=3-sqrt((-x^2+6x-5))


f(x)=3-sqrt((-x^2+6x-5))+sqrt((-x^2+6x-5))+x^3+6x^2


f(x)=x^3+6x^2+3

Требуется найти наименьшее значение этой функции при [b] х ∈ [1;5][/b]

f`(x)=3x^2+12x

f`(x)=0

3x^2+12x=0

3x*(x+4)=0

[i]Знак производной[/i]:

__+__ (-4) _-__ (0) __+__

f`(x) > 0 при x >0

Значит f(x)=x^3+6x^2+3 возрастает на [b][1;5][/b]

Наименьшее значение при x=1

f_(наим)=f(1)=1^3+6*1+3=10

О т в е т. [b]10[/b]