✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 29542 Медианы ВМ и CN треугольника АВС взаимно

УСЛОВИЕ:

Медианы ВМ и CN треугольника АВС взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника АВМ , если ВС = а и АС = b. [9.44]

РЕШЕНИЕ ОТ sova ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Пусть медианы ВМ и СN пересекаются в точке P.
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Обозначим
BM=3x, тогда BP=2x; PM=x
CP=y

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BPC:
(2x)^2+(y)^2=a^2;
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MPC:
(x)^2+(y)^2=(b/2)^2.

Система уравнений:
{(2x)^2+(y)^2=a^2;
{(x)^2+(y)^2=(b^2)/4.

Вычитаем из первого второе:
3x^2=a^2-(b^2)/4;
x^2=(4a^2-b^2)/12

y^2=(b^2)/4-x^2=(4b^2-4a^2)/12

S( Δ АВМ)=S(BMC), так как АМ=МС, высота общая.

S( Δ BMC)=(1/2)BM*CP=(1/2)*3*x*y=

=(1/2)*3*sqrt((4a^2-b^2)/12)*sqrt(4b^2-4a^2)/12)=

=sqrt(5a^2b^2-a^4-b^4)/4

О т в е т. sqrt(5a^2b^2-a^4-b^4)/4

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

Добавил slava191, просмотры: ☺ 951 ⌚ 2018-09-09 12:49:55. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Лучший ответ к заданию выводится как основной
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 40831
Уравнение прямой имеет вид:
y=kx+b

Подставляем координаты точки А(–6;–8):
-8=k*(-6)+b
Подставляем координаты точки В(–1;–7):
-7=k*(-1)+b

Решаем систему двух уравнений:
{-8=k*(-6)+b
{-7=k*(-1)+b

Вычитаем из первого уравнения второе:
{-1=-5k ⇒ k=\frac{1}{5}
{-7=k*(-1)+b

b=-k+7=-\frac{1}{5}+7=-\frac{34}{5}

О т в е т. y=\frac{1}{5}x-\frac{34}{5 или 5y=x-34 ⇒ x-5y-34=0

✎ к задаче 40842
Уравнение прямой имеет вид:
y=kx+b

Подставляем координаты точки А(4;4):
4=k*4+b
Подставляем координаты точки В(2;1):
1=k*2+b

Решаем систему двух уравнений:
{4=k*4+b
{1=k*2+b

Вычитаем из первого уравнения второе:
{3=k*2 ⇒ k=\frac{3}{2}
{1=k*2+b
b=1-2k=1-3=-2

О т в е т. y=\frac{3}{2}x-2 или 2y=3x-4 ⇒ 3x-2y-4=0

✎ к задаче 40845
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 40845
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 40844