Задача 29526 Найдите биссектрису прямого угла...

slava191

2018-09-09 11:56:47

Найдите биссектрису прямого угла треугольника с гипотенузой с и острым углом а. [9.28]

sova

2018-09-09 12:26:10

★

AC=AB*cos α =c*cos α ;
BC=AB*sin α = c*sin α ;

Пусть АК=х, ВК=с-х.

По свойству биссектрисы угла треугольника:

AK : BK = AC : BC

х : (с - х) = c*cos α : c*sin α

⇒ x=(c*cos α )/(sin α +cos α )

AK=(c*cos α )/(sin α +cos α )

По теореме синусов для треугольника АСК:

CK : sin α = AK : sin 45 градусов.

CK= (AK*sin α )/sin45 градусов=

= (sqrt(2)*c*sinα cos α )/(sin α +cos α )=

=((sqrt(2)/2)*csin2 α) /(sin α +cos α ).

Преобразуем сумму в произведение:

sin α +cos α =sin α + sin((π/2)- α )=2 sin(π/4)*cos( α -(π/4))=

=sqrt(2)cos((π/4)-α)=sqrt(2)sin((π/2)-((π/4)-α))=sqrt(2)sin((π/4)+α)


Ответ. с*sin2 α /(2*sin((π/4)+α))