Задача 29259 ...

slava191

09.08.2018

11.1.4) В шар радиуса R вписана пирамида, основанием которой явля­ется прямоугольник, а вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Составить за­ висимость объема V пирамиды как функцию сторон х и у ее основания. Однозначна или нет эта функция? Найти область определения функции.

SOVA

09.08.2018

★

V(пирамиды)=(1/3)*S(осн.)*H
Пусть Р - точка пересечения диагоналей прямоугольника.

V=(1/3)*S(прямоугольника)*SP=(1/3)*x*y*[b]SP[/b]

Выразим SP через R; x и у.

Функция неоднозначна.
а) Если центр шара расположен внутри пирамиды,
SP=SO+OP=R+OP
б)Если центр шара расположен вне пирамиды,
SP=SO-OP=R-OP

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
АОР:
ОР^2=AO^2-AP^2;
AP=(1/2)AC=(1/2)sqrt(x^2+y^2)
AP^2=(x^2+y^2)/4
OP^2=R^2-((x^2+y^2)/4)=(4R^2-x^2-y^2)/4
OP=sqrt(4R^2-x^2-y^2)/2

Тогда
а)SP=R+sqrt(4R^2-x^2-y^2)/2=(2R+sqrt(4R^2-x^2-y^2))/2
[b]V(x;y)=(1/6)*(xy)*(2R+sqrt(4R^2-x^2-y^2))[/b]

б)SP=R-sqrt(4R^2-x^2-y^2)/2=(2R-sqrt(4R^2-x^2-y^2))/2
[b]V(x;y)=(1/6)*(xy)*(2R-sqrt(4R^2-x^2-y^2))[/b]

D(V(x;y)): 0 < x меньше или равно 2R; 0 < y меньше или равно sqrt(4R^2-x^2)