2. Вершины пирамиды находятся в точках A(-7 ,-5,6), В(-2,5,-3), С(3,—2,4), D(1,2,2). Вычислить: 1) площадь грани BCD, 2) площадь сечения, проходящего через середину ребра CD и две вершины пирамиды А и B, 3) объем пирамиды.
3. Даны три вектора a = {8,4,1}, b={2,-2,1}, c={4, 0, 3}. Найти единичный вектор d, перпендикулярный к векторам a и b, направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов abc и abd имели одинаковую ориентацию.
Находим скалярное произведение векторов:
vector{a}*vector{b}=
=(2vector{m}+vector{n}-vector{p})*(vector{m}-3vector{n}+vector{p})=
применяем законы векторной [b] алгебры [/b].
Раскрываем скобки как в алгебре:
=2vector{m}*vector{m}-6vector{m}*vector{n}+2vector{m}*vector{p}=
+vector{n}*vector{m}-3vector{n}*vector{n}+vector{m}*vector{n}-
-vector{p}*vector{m}+3vector{p}*vector{n}-vector{p}*vector{p}=
Так как векторы vector{m};vector{n};vector{p} взаимно ортогональны, то их скалярные произведения равны 0
vector{m}*vector{n}=|vector{m}|*|vector{n}|*cos90^(o)=0
vector{m}*vector{p}=|vector{m}|*|vector{p}|*cos90^(o)=0
vector{n}*vector{p}=|vector{n}|*|vector{p}|*cos90^(o)=0
vector{m}*vector{m}=|vector{m}|*|vector{m}|cos0^(o)=|vector{m}|^2=1
так по условию векторы vector{m};vector{n};vector{p} - орты.
vector{n}*vector{n}=|vector{n}|*|vector{n}|cos0^(o)=|vector{n}|^2=1
vector{p}*vector{p}=|vector{p}|*|vector{p}|cos0^(o)=|vector{p}|^2=1
Из определения скалярного произведения
vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|cos∠ (vector{a},vector{b})
cos∠ (vector{a},vector{b})=(vector{a}*vector{b})/(|vector{a}|*|vector{b}|)
vector{a}*vector{b}=2vector{m}*vector{m}-3vector{n}*vector{n}-vector{p}*vector{p}=2-3+1=0
Значит векторы vector{a} и vector{b} ортогональны.
cos(∠ (vector{a},vector{b})=0
sin(∠ (vector{a},vector{b})=1
О т в е т. 1
Задача 3.
Пусть vector{d}=(x;y;z)
По условию vector{d}⊥ vector{a} и vector{d}⊥ vector{b}
Значит скалярные произведения равны 0
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат
vector{d}*vector{a}=8x+4y+z
vector{d}*vector{b}=2x-2y+z
Система:
{8x+4y+z=0
{2x-2y+z=0
Вычитаем из первого уравнения второе:
6х+6у=0
у=-х
z=2y-2x=2*(-x)-2x=-4x
vector{d}=(x;-х;-4х)
По условию вектор vector{d} - единичный.
Это означает, что
x^2+(-x)^2+(4x)^2=1
18x^2=1
x=±1/sqrt(18)
vector{d}=(1/sqrt(18);-1/sqrt(18);-4/sqrt(18))
или
vector{d}=(-1/sqrt(18);1/sqrt(18);4/sqrt(18))
Чтобы из двух ответов выбрать один надо воспользоваться условием
" упорядоченные тройки векторов vector{a};vector{b};vector{c} и vector{a};vector{b};vector{d} имеют одинаковую ориентацию.
Что означает, что вектор vector{d} образует с вектором vector{c} острый угол.
Скалярное произведение vector{d}*vector{с}>0
тогда косинус положительный и угол между векторами острый.
Нетрудно проверить, что этому условию удовлетворяет
vector{d}=(-1/sqrt(18);1/sqrt(18);4/sqrt(18))
О т в е т. vector{d}=(-1/sqrt(18);1/sqrt(18);4/sqrt(18))=vector{d}=(-1/(3sqrt(2));1/(3sqrt(2));4/(sqrt(2)))
Задача 2.
1) ; 3) ; 2)