Задача 33373 Найти решения уравнений, удовлетворяющих...

vk191264058

2019-02-08 09:54:26

Найти решения уравнений, удовлетворяющих заданным условиям
А) y'=(2x+1)^3; y(0)=1
Б) x(y^2+1)dx-ye^x^2dy=0, y(0)=0
В) xy' + y=x+1, y(2)=3
Г) y"-y'-2y=0, y(0)=0; y'(0)=1

sova

2019-02-08 12:04:38

A)
y= ∫ y`(x)dx= ∫ (2x+1)^3dx= замена (2x+1)=t; x=(t-1)/2; dx=dt/2)
= ∫ t^3*(dt/2(=(1/2)*t^(4)/4+C=(1/8)*(2x+1)^4+C - общее решение
При х=0
y=1
1=(1/8)*+C
C=-7/8
y=(1/8)(2x+1)^4-(7/8) - О т в е т.
Б)
уравнение с разделяющимися переменными
xdx/e^(x^2)=ydy/(y^2+1)
x*e^(-x^2)dx=ydy/(y^2+1)

Интегрируем
-x^2=u
du=-2xdx
xdx=(-1/2)du
поэтому
(-1/2)e^(-x^2)=(1/2)ln|y^2+1|+C_(1)

-e^(-x^2) = ln|y^2+1| + C
При х=0
у=0
-1=С
О т в е т. -e^(-x^2)=ln(y^2+1) - 1

B)
Делим на х
y` +(1/x)y = (x+1)/x
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/x)*(u*v)=(x+1)/x
u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=(x+1)/x

(1)
v`+(1/x)*v=0
dv/v=-dx/x
ln|v|=-ln|x|
v=1/x

u`*(1/x)=(x+1)/x
u`=x+1
u=(x^2/2)+x+C

y=u*v=((x^2/2)+x+C)*(1/x)

y(2)=3

3=((2^2/2)+2+C)*(1/2)
6=4+2+C
C=0
О т в е т. y=(x/2)+1

Г)
Составляем характеристическое уравнение
k^2-k-2=0
D=9
k_(1)=-1; k_(2)=2
y=C_(1)e^(-x) + C_(2)e^(2x)
- общее решение
y`= -C_(1)e^(-x)+2C_(2)e^(2x0

{0=C_(1)+C_(2);
{1=-C_(1)+2C_(2)

С_(2)=1/3
С_(1)=-1/3

y=(-1/3)*e^(-x)+(1/3)e^(2x) - О т в е т.