Задача 52705 Найти решение задачи...

pulikovai

2020-06-25 16:00:21

Найти решение задачи Коши(ЛИНЕЙНЫЕ)
y'-y/xlnx=lnx/x, y(e)=0

sova

2020-06-25 16:47:29

Решаем методом Бернулли

Решение представим в виде произведения двух функций u(x) и v(x):
y=u*v

Находим
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-(u*v/xlnx)=[b]lnx/x[/b]

u`*v+u([blue]v`-v/xlnx[/blue])=[b]lnx/x[/b]

Выбираем функцию v так,чтобы
[blue]v`-v/xlnx[/blue]=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`/v=dx/xlnx ⇒ ∫ dv/v=-∫ x^2dx ⇒ ln|v|=ln|lnx| ⇒ [b]v=lnx[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*lnx+0=[b]lnx/x[/b]

u`=du/dx
du=dx/x

u=ln|x|+lnC

u=lnCx



y=u*v=(lnCx)*lnx


y(e)=0

0=(lnCe)lne

lne=1

lnCe=lnC+lne=lnC+1

lnC+1=0

lnC=-1

C=1/e

y=(lnx/e)*lnx=[b]ln^2x-lnx[/b]