Задача 29390 15.49) Молодым семьям на покупку...

slava191

28 августа 2018 г. в 14:09

15.49) Молодым семьям на покупку квартиры банк выдает кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 4 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 000 руб.?

sova

29 августа 2018 г. в 10:15

Пусть банк представляет кредит в сумме х рублей.
Через год долг увеличивается на 20%, т.е составляет 120%
120%=120/100=1,2

1,2х руб. – долг на начало второго года кредитования.

Первая выплата на втором году 810 000 руб.
Остаток к концу второго года составит
(1,2x – 810 000) руб.

На начало третьего года долг увеличится на 20%
1,2·(1,2x–810 000)=1,2²x–1,2·810 000 (руб.)

Вторая выплата на третий год кредитования 810 000.
Остаток долга к концу третьего года
1,2²x–1,2·810 000 – 810 000 (руб.);

Вначале четвертого года кредитования долг увеличивается на 20%:
1,2·(1,2²x–1,2·810 000 – 810 000)=1,2³x–1,2²·810 000 –1,2·810 000 (руб.)
Третья выплата на четвертый год кредитования 810 000 руб.
и остаток составит
1,2³x–1,2²·810 000 –1,2·810 000 – 810 000 ( руб.)

Вначале пятого года кредитования долг увеличивается на 20%:
1,2·(1,2³x–1,2²·810 000 –1,2·810 000 – 810 000) (руб.)
и становится равным последней четвертой выплате, 810 000 (руб.).

Уравнение
1,2·(1,2³x–1,2²·810 000 –1,2·810 000 – 810 000) =810 000;
Упрощаем и считаем большие числа один раз, калькуляторов нет(!)
1,2⁴·x=(1,2³+1,2²+1,2+1)·810 000
В скобках сумма четырех слагаемых геометрической прогрессии (b₁=1; q=1,2):
1,2⁴·x=810 000·((1,2)⁴–1)/(1,2–1)
Формула разности квадратов:
1,2⁴·x=810 000 ·((1,2)²–1)(1,2²+1)/(1,2–1)
1,44²·x=10 000·(9·9)(0,44)·(2,44)/0,2
x=(10 000·(9·9)(44)·(244))/(144·144·0,2)
x=(10 000·11·61)/(16·0,2)
x=2 096 875 руб.
О т в е т. 2 096 875 руб.