Задача 44450 ...

slava191

2020-02-22 21:57:58

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка К - середина ребра АВ, точка Р - середина ребра ВС. Через точки К, Р, D1 проведена плоскость α .

А) Докажите, что сечение призмы плоскостью α можно разбить на две части, одна из которых равнобедренный треугольник, а другая - равнобокая трапеция.

Б) Найдите периметр сечения призмы плоскостью α , если известно, что сторона основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 6.

sova

2020-02-23 20:30:26

а)
В основании призмы квадрат АВСD.
АВ=ВС=СD=AD

Обозначим сторону основания [b]а[/b].
АВ=ВС=СD=AD=[b]а[/b]

КР-средняя линия Δ АВС
КР || АС

AC=a*sqrt(2)
KP=(a*sqrt(2))/2

AD ∩ KP=M
DC ∩ KP=N

D_(1)M ∩ AA_(1)=T
D_(1)N ∩ CC_(1)=E

Сечение KTD_(1)EP - пятиугольник.

ΔMND ∼ ΔACD (MN||AC)

∠ CAD=45 ° ( диагональ квадрата является его биссектрисой)
∠ KMA=45 °

Δ KMА - прямоугольный с острым углом 45 ° , значит это равнобедренный треугольник и
КА=МА

КА=(1/2)АВ=a/2
МА=KA=a/2
MK=(asqrt(2))/2


MD=MA+AD=(a/2)+a=3a/2

Аналогично ΔMND ∼ ΔPNC (MN||AC)

DN=(3a/2)

Δ MAT ∼ Δ MDD_(1) ( AT || DD_(1))

AT:DD_(1)=MA:MD=(a/2):(3a/2)=1:3

Аналогично ΔENC ∼ ΔND_(1)D

EC:DD_(1)=1:3

ТЕ || AC
AC||KP

[b]TE|| KP[/b]

D_(1)T=D_(1)E ⇒ ΔD_(1)TE - равнобедренный

Аналогично ТК=РЕ

КТЕР - равнобедренная трапеция ( TE || AC и ТК=РЕ)

б)
АВ=ВС=СD=AD[b]=8[/b]
АА_(1)=ВВ_(1)=СС_(1)=DD_(1)=[b]6[/b]

AC=8*sqrt(2)
KP=(8*sqrt(2))/2=4sqrt(2)

A_(1)T=(3/4)AA_(1)=(2/3)*6=4

AT=(1/3)*6=2

TD^2_(1)=8^2+4^2=80

TD_(1)=sqrt(80)=[b]4sqrt(5)[/b]

KT^2=АT^2+AK^2=2^2+4^2=20
KT=2sqrt(5)

P=2*KT+2*TD_(1)+KP=sqrt(265)+sqrt(337)+4sqrt(2)

О т в е т. 4sqrt(5)+8sqrt(5)+4sqrt(2)=[b]12sqrt(5)+4sqrt(2)[/b]