Задача 44287 Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром длины...

slava191

2020-02-15 17:53:59

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром длины 1. Точка P - середина A_1D_1, точка Q делит отрезок АВ_1 в отношении 2:1, считая от вершины А, R - точка пересечения отрезков ВС_1 и В_1С.

а) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR

б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС_1 куба.

sova

2020-02-16 14:34:22

Пусть куб расположен в системе координат таким образом, что
A(0;0;0)
B(1;0;0)
C(1;1;0)
D(0;1;0)

A_(1)(0;0:1)
B_(1)(1;0;1)
C_(1)(1;1;1)
D_(1)(0;1;1)

Тогда координаты точки Р - середины отрезка A_(1)D_(1)

[b]P(0;1/2;1)[/b]
координаты точки Q - координаты вектора vector{AQ}
vector{AQ}=(2/3)vector{AB_(1)}
[b]Q(2/3;0;2/3)[/b]
координаты точки R - середины отрезка B_(1)C
[b]R(1;1/2;1/2)[/b]

vector{PQ}=(2/3;-1/2;-1/3)
vector{PR}=(1;0;-1/2)

|vector{PQ}|=sqrt((2/3)^2+(-1/2)^2+(-1/3)^2)=sqrt(29)/6;

|vector{PR}|=sqrt(1^2+0^2+(-1/2)^2)=sqrt(5)/2;

vector{PQ}*vector{PR}=(2/3)*1+(-1/2)*0+(-1/3)*(-1/2)=5/6

cos ∠ P=(vector{PQ}*vector{PR})/(|vector{PQ}|*|vector{PR}|)=[b]2*sqrt(5/29)[/b]

sin ∠ P=3/sqrt(29)

S_( ΔPQR)=(1/2)*PQ*PR*sin ∠ P=[b](sqrt(5))/8[/b]

Можно найти площадь треугольника через векторное произведение
[m][\vec{PQ},\vec{PR}]=\begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j} &\vec{k}\\ \frac{2}{3} &-\frac{1}{2} & -\frac{1}{3}\\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{vmatrix}=\frac{1}{4}\vec{i}+0\cdot \vec{j}+\frac{1}{2}\cdot \vec{k}[/m]

S_( ΔPQR)=(1/2)|[\vector{PQ},\vector{PR}]|=(1/2)sqrt((1/4)^2+(1/2)^2)=[b](sqrt(5))/8[/b]
a)
О т в е т. S_( ΔPQR)=[b](sqrt(5))/8[/b]

б)
Составим уравнение плоскости PQR:


[m](\vec{PM},\vec{PR},\vec{PQ})=\begin{vmatrix}x &y-\frac{1}{2} & z-1 \\\frac{2}{3} &-\frac{1}{2} & -\frac{1}{3}\\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{vmatrix}=\frac{x}{4}+\frac{z-1}{2}[/m]

[m]\frac{x}{4}+\frac{z-1}{2}=0[/m]

[m]x+2z-2=0[/m] - уравнение плоскости PQR

Уравнение прямой АС_(1):

[m]\frac{x-0}{1-0}=\frac{y-0}{1-0}=\frac{z-0}{1-0}[/m]

x=y=z

Находим точку пересечения T прямой АС_(1) и плоскости PQR:

x+2x-2=0
x=2/3
y=2/3
z=2/3

T((2/3);(2/3);(2/3))

vector{AT}=(2/3)*vector{AC_(1)}

точка Т делит диагональ АС_(1) в отношении 2:1
О т в е т.