Задача 44287 Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром длины...

slava191

15 февраля 2020 г. в 17:53

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром длины 1. Точка P – середина A₁D₁, точка Q делит отрезок АВ₁ в отношении 2:1, считая от вершины А, R – точка пересечения отрезков ВС₁ и В₁С.

а) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR

б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС₁ куба.

sova

16 февраля 2020 г. в 14:34

Пусть куб расположен в системе координат таким образом, что
A(0;0;0)
B(1;0;0)
C(1;1;0)
D(0;1;0)

A₁(0;0:1)
B₁(1;0;1)
C₁(1;1;1)
D₁(0;1;1)

Тогда координаты точки Р – середины отрезка A₁D₁

P(0;1/2;1)
координаты точки Q – координаты вектора AQ
AQ=(2/3)AB₁
Q(2/3;0;2/3)
координаты точки R – середины отрезка B₁C
R(1;1/2;1/2)

PQ=(2/3;–1/2;–1/3)
PR=(1;0;–1/2)

|PQ|=√(2/3)²+(–1/2)²+(–1/3)²=√29/6;

|PR|=√1²+0²+(–1/2)²=√5/2;

PQ·PR=(2/3)·1+(–1/2)·0+(–1/3)·(–1/2)=5/6

cos ∠ P=(PQ·PR)/(|PQ|·|PR|)=2·√5/29

sin ∠ P=3/√29

S _ΔPQR=(1/2)·PQ·PR·sin ∠ P=(√5)/8

Можно найти площадь треугольника через векторное произведение
[m][\vec{PQ},\vec{PR}]=\begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j} &\vec{k}\\ \frac{2}{3} &-\frac{1}{2} & -\frac{1}{3}\\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{vmatrix}=\frac{1}{4}\vec{i}+0\cdot \vec{j}+\frac{1}{2}\cdot \vec{k}[/m]

S _ΔPQR=(1/2)|[\PQ,\PR]|=(1/2)√(1/4)²+(1/2)²=(√5)/8
a)
О т в е т. S _ΔPQR=(√5)/8

б)
Составим уравнение плоскости PQR:


[m](\vec{PM},\vec{PR},\vec{PQ})=\begin{vmatrix}x &y-\frac{1}{2} & z-1 \\\frac{2}{3} &-\frac{1}{2} & -\frac{1}{3}\\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{vmatrix}=\frac{x}{4}+\frac{z-1}{2}[/m]

[m]\frac{x}{4}+\frac{z-1}{2}=0[/m]

[m]x+2z-2=0[/m] – уравнение плоскости PQR

Уравнение прямой АС₁:

[m]\frac{x-0}{1-0}=\frac{y-0}{1-0}=\frac{z-0}{1-0}[/m]

x=y=z

Находим точку пересечения T прямой АС₁ и плоскости PQR:

x+2x–2=0
x=2/3
y=2/3
z=2/3

T((2/3);(2/3);(2/3))

AT=(2/3)·AC₁

точка Т делит диагональ АС₁ в отношении 2:1
О т в е т.