Задача 29946 sqrt(x+3)-sqrt(3x-2) > sqrt(x-2)...

slava191

2018-10-04 17:39:51

sqrt(x+3)-sqrt(3x-2) > sqrt(x-2) [v11-15]

sova

2018-10-04 18:16:25

★

ОДЗ:
{x+3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3
{3x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2/3
{x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2

x ∈ [2;+ ∞ )

Перепишем неравенство:

sqrt(x+3) > sqrt(x-2)+sqrt(3x-2)

Возводим в квадрат

x + 3 > x - 2 + 2 sqrt(x - 2) * sqrt ( 3x - 2) + 3x -2

2 sqrt(x - 2) * sqrt ( 3x - 2) < 7 - 3x

Если 7-3x ≤ 0 неравенство не имеет решений
(левая часть неотрицательна при любом х из ОДЗ и не может быть меньше неположительного выражения)

Если 7-3x > 0, т.е x < 7/3
возводим в квадрат

4*(х - 2)* (3х - 2) < (7 - 3x)^2

3x^2 +10x - 33 < 0

D=10^2-4*3*(-33)=100 + 396 = 496

x_(1)=(-10-4sqrt(31))/6 или х_(2)=(-10+4sqrt(31))/6

x ∈ ( (-5-2sqrt(31))/3; (-5+2sqrt(31))/3)

C учетом 7-3x > 0 и ОДЗ получаем
О т в е т. [2; (-5+2sqrt(31))/3) )