Задача 28596 Все на картинке...
Условие
Все решения
Интеграл вычисляют методом интегрирования по частям
u=x^2
v=sin2xdx
du=2xdx
v=-(1/2)cos2x
∫ x^2sin2xdx=-(x^2/2)cos2x+∫ xcos2xdx=
u=x
dv=cos2xdx
du=dx
v=(1/2)sin2x
=-(x^2/2)cos2x+(x/2)sin2x- ∫ (1/2)sin2xdx=
=-(x^2/2)cos2x+(x/2)sin2x+(1/4)cos2x + C
3.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решаем однородное уравнение
y`-(y/x)=0
dy/dx=y/x- уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=dx/x
∫ dy/y= ∫ dx/x
ln||=ln|x|+lnC
y=Cx
Применяем метод вариации произвольной постоянной
у=С(х)*х
y`=C`(x)*x+C(x)*x`
y`=C`(x)*x+C(x)
Подставляем в данное уравнение
C`(x)*x+C(x)-С(х)*х/х=(х+1)/х
C`(x)*x=(х+1)/х
C`(x)=(х+1)/х^2
C(x)= ∫ (x+1)dx/x^2= ∫ dx/x+ ∫ dx/x^2=ln|x|-(1/x)+C
y=(ln|x|-(1/x)+C)*x
y=xlnx-1+Cx - общее решение данного уравнения