Задача 26594 4.1.37) Даны две смежные вершины...

slava191

21 апреля 2018 г.

4.1.37) Даны две смежные вершины квадрата А(2; —1) и В(—1; 3). Най­ти координаты двух его других вершин

SOVA

21 апреля 2018 г.

★

Уравнение прямой АВ:
(х–x_A)/(x_B–x_A)=(y–y_A)/(y_B–y_A)
(х–2)/(–1–2)=(y–(–1))/(3–(–1))
4·(х–2)=–3(у+1)
4х+3у–5=0 – уравнение АВ

АВ=√(–3)²+4²=5

Уравнения прямых, перпендикулярных АВ
имеют вид 3х–4у+k=0

Одна такая прямая проходит через точку A
Подставим координаты точки А в уравнение 3х–4у+k=0
3·2–4·(–1)+k=0
k=–10
Уравнение АD:
3х–4у–10=0
Расстояние от точки С(x_C; y_C) до прямой AB равно 5
d=|4x_C+3y_C–5| /5
|4x_C+3y_C–5| /5=5

Уравнение прямой ВС:
3·(–1)–4·3+k=0
k=15
3x–4y+15=0 – уравнение ВС

Расстояние от точки D(x_D;y_D)
до прямой AB равно 5
d=|4x_D+3y_D–5|/5
|4x_D+3y_D–5|/5=5

Точка С принадлежит прямой ВС, значит ее координаты удовлетворяют уравнению ВС
3x_С–4y_С+15=0
Точка D принадлежит прямой AD, значит ее координаты удовлетворяют уравнению AD
3x_D–4y_D–10=0

Из двух систем:
{|4x_C+3y_C–5| /5=5
{3x_С–4y_С+15=0 ⇒ y_C=(3x_C+15)/4
и
{|4x_D+3y_D–5|/5=5
{3x_D–4y_D–10=0 ⇒ y_D=(3x_D+10)/4

находим координаты точек С и D.
|4x_C+(3/4)·(3x_C+15)–5|=25
25x_C+25 = –100 или 25x_C+25=100
25x_C=–125 или 25x_C=75
x_C=– 5 или х_С=3
у_С=0 или у_С=6


C(3;6) или С (–5;0)
D(6;2) или D(–2;–4)